Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2104
2019-02-08 
Две окружности радиуса $l$ пересекаются в точках $X, Y$, расстояние между которыми также равно 1. Из точки $C$ одной окружности проведены касательные $CA, CB$ к другой. Прямая $CB$ вторично пересекает первую окружность в точке $A^{\prime}$. Найти расстояние $AA^{\prime}$.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности, на которой лежит точка $C, O^{\prime}$ - центр другой окружности. Так как $OO^{\prime} = \sqrt{3}$, то прямая $A^{\prime}B^{\prime}$, где $B^{\prime}$ - вторая точка пересечения $CA$ c окружностью, касается второй окружности в точке $C^{\prime}$. Следовательно,
$\angle A^{\prime}O^{\prime}A = \angle AO^{\prime}C^{\prime} + \frac{1}{2}C^{\prime}O^{\prime}B = 2 \angle ABC^{\prime} + \angle C^{\prime}AB = \angle CB^{\prime}A^{\prime} + \frac{1}{2} \angle CA^{\prime}B^{\prime}$,
$\angle O^{\prime}A^{\prime}O = \angle O^{\prime}A^{\prime}B^{\prime} + \angle B^{\prime}A^{\prime}O = \frac{\pi}{2} - \angle C^{\prime}O^{\prime}A^{\prime} + \frac{\pi}{2} - \angle BCA = \pi - \angle BCA - \frac{1}{2} \angle CA^{\prime}B^{\prime} = \angle CB^{\prime}A^{\prime} + \frac{1}{2} \angle CA^{\prime}B^{\prime}$.
Так как $O^{\prime}A = OA^{\prime},AO^{\prime}A^{\prime}O$ - равнобедренная трапеция, и $AA^{\prime} = OO^{\prime} = \sqrt{3}$ (рис.).
Две окружности радиуса $l$ пересекаются в точках $X, Y$, расстояние между которыми также равно 1. Из точки $C$ одной окружности проведены касательные $CA, CB$ к другой. Прямая $CB$ вторично пересекает первую окружность в точке $A^{\prime}$. Найти расстояние $AA^{\prime}$.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности, на которой лежит точка $C, O^{\prime}$ - центр другой окружности. Так как $OO^{\prime} = \sqrt{3}$, то прямая $A^{\prime}B^{\prime}$, где $B^{\prime}$ - вторая точка пересечения $CA$ c окружностью, касается второй окружности в точке $C^{\prime}$. Следовательно,
$\angle A^{\prime}O^{\prime}A = \angle AO^{\prime}C^{\prime} + \frac{1}{2}C^{\prime}O^{\prime}B = 2 \angle ABC^{\prime} + \angle C^{\prime}AB = \angle CB^{\prime}A^{\prime} + \frac{1}{2} \angle CA^{\prime}B^{\prime}$,
$\angle O^{\prime}A^{\prime}O = \angle O^{\prime}A^{\prime}B^{\prime} + \angle B^{\prime}A^{\prime}O = \frac{\pi}{2} - \angle C^{\prime}O^{\prime}A^{\prime} + \frac{\pi}{2} - \angle BCA = \pi - \angle BCA - \frac{1}{2} \angle CA^{\prime}B^{\prime} = \angle CB^{\prime}A^{\prime} + \frac{1}{2} \angle CA^{\prime}B^{\prime}$.
Так как $O^{\prime}A = OA^{\prime},AO^{\prime}A^{\prime}O$ - равнобедренная трапеция, и $AA^{\prime} = OO^{\prime} = \sqrt{3}$ (рис.).
