Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2102
2019-02-08 
B окружности с центром $O$ проведены две параллельные хорды $AB$ и $CD$. Окружности с диаметрами $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Доказать, что середина отрезка $OP$ равноудалена от прямых $AB$ и $CD$.
Решение:
Пусть $X, Y$ - середины $AB$ и $CD, Q$ - середина $OP$. Тогда
$ XQ^2 = \frac{2OX^2 + 2XP^2 - OP^2}{4} = \frac{2OX^2 + 2XA^2 - OP^2}{4} = \frac{2OA^2 - OP^2}{4} = YQ^2$.
Таким образом, $Q$ равноудалена от точек $X$ и $Y$, а значит, и от прямых $AB$ и $CD$ (рис.).
B окружности с центром $O$ проведены две параллельные хорды $AB$ и $CD$. Окружности с диаметрами $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Доказать, что середина отрезка $OP$ равноудалена от прямых $AB$ и $CD$.
Решение:
Пусть $X, Y$ - середины $AB$ и $CD, Q$ - середина $OP$. Тогда
$ XQ^2 = \frac{2OX^2 + 2XP^2 - OP^2}{4} = \frac{2OX^2 + 2XA^2 - OP^2}{4} = \frac{2OA^2 - OP^2}{4} = YQ^2$.
Таким образом, $Q$ равноудалена от точек $X$ и $Y$, а значит, и от прямых $AB$ и $CD$ (рис.).
