Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2101
2019-02-08 
Треугольник можно разрезать на три подобных друг другу треугольника. Доказать, что его можно разрезать на любое число подобных друг другу треугольников.
Решение:
Пусть треугольник $ABC$ с наибольшим углом $C$ разрезан на три подобных отрезками $AX, BX, CX$. Так как $\angle AXB > \angle ACB$, углу $AXB$ в других треугольниках могут равняться только углы $AXC$ и $BXC$. Значит,
$\angle AXB = \angle AXC = \angle BXC = 120^{\circ}$.
Но тогда $AX = BX = CX$ и треугольник $ABC$ - правильный.
Пусть теперь треугольник разрезали сначала прямой, проходящей через вершину, на два, а затем один из этих двух - ещё на два. Так как два последних треугольника подобны, они прямоугольные, т. е. при первом разрезе от исходного треугольника отрезали прямоугольный, а затем оставшийся треугольник разделили на два высотой. Перебрав все возможные варианты, нетрудно убедиться, что исходный треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный. И в том, и в другом случае его можно разрезать на любое число подобных.
Треугольник можно разрезать на три подобных друг другу треугольника. Доказать, что его можно разрезать на любое число подобных друг другу треугольников.
Решение:
Пусть треугольник $ABC$ с наибольшим углом $C$ разрезан на три подобных отрезками $AX, BX, CX$. Так как $\angle AXB > \angle ACB$, углу $AXB$ в других треугольниках могут равняться только углы $AXC$ и $BXC$. Значит,
$\angle AXB = \angle AXC = \angle BXC = 120^{\circ}$.
Но тогда $AX = BX = CX$ и треугольник $ABC$ - правильный.
Пусть теперь треугольник разрезали сначала прямой, проходящей через вершину, на два, а затем один из этих двух - ещё на два. Так как два последних треугольника подобны, они прямоугольные, т. е. при первом разрезе от исходного треугольника отрезали прямоугольный, а затем оставшийся треугольник разделили на два высотой. Перебрав все возможные варианты, нетрудно убедиться, что исходный треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный. И в том, и в другом случае его можно разрезать на любое число подобных.
