Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 210
2014-06-07 
Точка М лежит на окружности, описанной около данного равностороннего треугольника $ABC$. Доказать, что величина $MA^{4} + MB^{4} + MC^{4}$ не зависит от выбора точки $M$.
Решение:
Без ограничения общности можно считать, что точка $M$ лежит на дуге $AB$ (рис.) описанной окружности с центром O и радиусом $R$. Обозначим $\angle AOM = \alpha$ тогда
$MA = 2R \sin (\alpha /2)$,
$MB = 2R \cdot \sin \frac{1}{2}(\angle AOB - \angle AOM) = 2R \sin (60^{\circ} - \alpha /2)$,
$MC = 2R \cdot \sin \frac{1}{2}(\angle AOC + \angle AOM) = 2R \sin (60^{\circ} + \alpha /2)$,
Поэтому величина
$\frac{MA^{4}+MB^{4}+MC^{4}}{R^{4}}= 16 (\sin^{4} (\alpha /2) + \sin^{4} (60^{\circ} - \alpha /2 ) + \sin^{4} (60^{\circ} + \alpha / 2 )) =$
$= 4((1 - \cos \alpha)^{2} + (1 - \cos (120^{\circ} - \alpha))^{2} + (1 - \cos (120^{\circ} + \alpha))^{2}) =$
$= 12 - 8 (\cos \alpha + (\cos (120^{\circ} - \alpha) + \cos (120^{\circ} + \alpha))) + $
$+ 4 (\cos^{2} \alpha + \cos^{2} (120^{\circ} - \alpha) + \cos^{2} (120^{\circ} + \alpha)) = 12 – 8 \cos \alpha -$
$-8 \cdot 2 \cos \alpha \cos 120^{\circ} + 2 ((1 - \cos 2 \alpha) + (1 - \cos (240^{\circ} – 2 \alpha)) +$
$+ (1 - \cos (240^{\circ} + 2 \alpha))) = 12 – 8 \cos \alpha + 8 \cos \alpha + 6 - 2 \cos 2 \alpha -$
$- 2 \cdot 2 \cos 2\alpha \cos 240^{\circ}= 18 - 2 \cos 2 \alpha + 2 \cos 2 \alpha = 18$
не зависит от выбора точки М.
Точка М лежит на окружности, описанной около данного равностороннего треугольника $ABC$. Доказать, что величина $MA^{4} + MB^{4} + MC^{4}$ не зависит от выбора точки $M$.
Решение:
Без ограничения общности можно считать, что точка $M$ лежит на дуге $AB$ (рис.) описанной окружности с центром O и радиусом $R$. Обозначим $\angle AOM = \alpha$ тогда
$MA = 2R \sin (\alpha /2)$,
$MB = 2R \cdot \sin \frac{1}{2}(\angle AOB - \angle AOM) = 2R \sin (60^{\circ} - \alpha /2)$,
$MC = 2R \cdot \sin \frac{1}{2}(\angle AOC + \angle AOM) = 2R \sin (60^{\circ} + \alpha /2)$,
Поэтому величина
$\frac{MA^{4}+MB^{4}+MC^{4}}{R^{4}}= 16 (\sin^{4} (\alpha /2) + \sin^{4} (60^{\circ} - \alpha /2 ) + \sin^{4} (60^{\circ} + \alpha / 2 )) =$
$= 4((1 - \cos \alpha)^{2} + (1 - \cos (120^{\circ} - \alpha))^{2} + (1 - \cos (120^{\circ} + \alpha))^{2}) =$
$= 12 - 8 (\cos \alpha + (\cos (120^{\circ} - \alpha) + \cos (120^{\circ} + \alpha))) + $
$+ 4 (\cos^{2} \alpha + \cos^{2} (120^{\circ} - \alpha) + \cos^{2} (120^{\circ} + \alpha)) = 12 – 8 \cos \alpha -$
$-8 \cdot 2 \cos \alpha \cos 120^{\circ} + 2 ((1 - \cos 2 \alpha) + (1 - \cos (240^{\circ} – 2 \alpha)) +$
$+ (1 - \cos (240^{\circ} + 2 \alpha))) = 12 – 8 \cos \alpha + 8 \cos \alpha + 6 - 2 \cos 2 \alpha -$
$- 2 \cdot 2 \cos 2\alpha \cos 240^{\circ}= 18 - 2 \cos 2 \alpha + 2 \cos 2 \alpha = 18$
не зависит от выбора точки М.
