Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2099
2019-02-08 
Дано, что ни для какой стороны треугольника из проведённых к ней высоты, биссектрисы и медианы нельзя составить треугольник. Доказать, что один из углов треугольника больше $135^{\circ}$.
Решение:
Из условия следует, что каждая медиана больше либо равна сумме биссектрисы и высоты из той же вершины. Если между какой-то медианой и соответствующей высотой угол не больше $60^{\circ}$, то медиана не больше удвоенной высоты, а сумма биссектрисы и высоты - не меньше, причём равенство не достигается одновременно. Поэтому из условия следует, что между каждой медианой и соответствующей высотой угол больше $60^{\circ}$. Так как в треугольнике наименьший угол не больше $60^{\circ}$, то какая-то высота проходит вне треугольника, т. е. он тупоугольный.
Пусть $A$ - вершина тупого угла, $B$ и $C$ - остальные две вершины, $AM$ - медиана, $AH$ - высота, причём точка $M$ принадлежит отрезку $BH$. По доказанному $\angle AMH < 30^{\circ}$. Он равен сумме углов $ABM$ и $BAM$. Медиана из вершины тупого угла меньше половины противолежащей стороны. Отсюда $\angle ABM < 15^{\circ}$.
Высота из вершины B образует угол больше $60^{\circ}$ с соответствующей медианой, а тогда и со стороной $BC$. Поэтому $\angle ACB < 30^{\circ}$. Значит,
$\angle BAC > 180^{\circ} - 15^{\circ} - 30^{\circ} = 135^{\circ}$.
Дано, что ни для какой стороны треугольника из проведённых к ней высоты, биссектрисы и медианы нельзя составить треугольник. Доказать, что один из углов треугольника больше $135^{\circ}$.
Решение:
Из условия следует, что каждая медиана больше либо равна сумме биссектрисы и высоты из той же вершины. Если между какой-то медианой и соответствующей высотой угол не больше $60^{\circ}$, то медиана не больше удвоенной высоты, а сумма биссектрисы и высоты - не меньше, причём равенство не достигается одновременно. Поэтому из условия следует, что между каждой медианой и соответствующей высотой угол больше $60^{\circ}$. Так как в треугольнике наименьший угол не больше $60^{\circ}$, то какая-то высота проходит вне треугольника, т. е. он тупоугольный.
Пусть $A$ - вершина тупого угла, $B$ и $C$ - остальные две вершины, $AM$ - медиана, $AH$ - высота, причём точка $M$ принадлежит отрезку $BH$. По доказанному $\angle AMH < 30^{\circ}$. Он равен сумме углов $ABM$ и $BAM$. Медиана из вершины тупого угла меньше половины противолежащей стороны. Отсюда $\angle ABM < 15^{\circ}$.
Высота из вершины B образует угол больше $60^{\circ}$ с соответствующей медианой, а тогда и со стороной $BC$. Поэтому $\angle ACB < 30^{\circ}$. Значит,
$\angle BAC > 180^{\circ} - 15^{\circ} - 30^{\circ} = 135^{\circ}$.
