Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2098
2019-02-08 
Пусть $P$ - точка пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$, $M$ - точка пересечения прямых, соединяющих середины его противоположных сторон, $O$ - точка пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям, $H$ - точка пересечения прямых, соединяющих ортоцентры треугольников $APD$ и $BCP$, $APB$ и $CPD$. Доказать, что $M$ - середина $OH$.
Решение:
Пусть $O_1$ - середина $AC$, а $O_2$ - середина $BD$. Несложно показать, что точка $M$ - середина отрезка $O_1O_2$ (понятно, что $M$ - центр масс системы $1A, 1B, 1C, 1D$, т. е. четырёх единичных масс, помещённых в точки $A, B, C, D$. Рассмотрим подсистемы $1A, 1C$ и $1B, 1D$, которые эквивалентны подсистемам $2O_1, 2O_2$).
Очевидно, что четырёхугольник $H_1H_3H_2H_4$, образованный ортоцентрами, есть параллелограмм, стороны которого лежат на перпендикулярах, проведённых из вершин четырёхугольника к соответствующим диагоналям. Поэтому $H$ - точка пересечения диагоналей этого параллелограмма и делит их пополам.
Докажем, что прямая $HO_1$ параллельна $OO_2$, или, иначе говоря, перпендикулярна диагонали $BD$. Рассмотрим прямую, перпендикулярную этой диагонали и проходящую через $H$ и покажем, что она проходит и через точку $O_1$. Пусть наша прямая пересекает отрезок $AH_4$ в точке $K$. Тогда она является средней линией в треугольнике $AH_3H_4$, и потому $K$ - середина $AH_4$. А следовательно, наша прямая будет средней линией и в треугольнике $AH_4C$, и потому пройдёт через $O_1$.
Рассуждая совершенно аналогично, убеждаемся в том, что прямая $HO_2$ параллельна $OO_1$, т. е. $HO_1OO_2$ - параллелограмм, причём $M$ - точка пересечения его диагоналей (рис.).
Отсюда следует, что точки $O, M, H$ лежат на одной прямой и $OM = MH$.
Пусть $P$ - точка пересечения диагоналей четырёхугольника $ABCD$, $M$ - точка пересечения прямых, соединяющих середины его противоположных сторон, $O$ - точка пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям, $H$ - точка пересечения прямых, соединяющих ортоцентры треугольников $APD$ и $BCP$, $APB$ и $CPD$. Доказать, что $M$ - середина $OH$.
Решение:
Пусть $O_1$ - середина $AC$, а $O_2$ - середина $BD$. Несложно показать, что точка $M$ - середина отрезка $O_1O_2$ (понятно, что $M$ - центр масс системы $1A, 1B, 1C, 1D$, т. е. четырёх единичных масс, помещённых в точки $A, B, C, D$. Рассмотрим подсистемы $1A, 1C$ и $1B, 1D$, которые эквивалентны подсистемам $2O_1, 2O_2$).
Очевидно, что четырёхугольник $H_1H_3H_2H_4$, образованный ортоцентрами, есть параллелограмм, стороны которого лежат на перпендикулярах, проведённых из вершин четырёхугольника к соответствующим диагоналям. Поэтому $H$ - точка пересечения диагоналей этого параллелограмма и делит их пополам.
Докажем, что прямая $HO_1$ параллельна $OO_2$, или, иначе говоря, перпендикулярна диагонали $BD$. Рассмотрим прямую, перпендикулярную этой диагонали и проходящую через $H$ и покажем, что она проходит и через точку $O_1$. Пусть наша прямая пересекает отрезок $AH_4$ в точке $K$. Тогда она является средней линией в треугольнике $AH_3H_4$, и потому $K$ - середина $AH_4$. А следовательно, наша прямая будет средней линией и в треугольнике $AH_4C$, и потому пройдёт через $O_1$.
Рассуждая совершенно аналогично, убеждаемся в том, что прямая $HO_2$ параллельна $OO_1$, т. е. $HO_1OO_2$ - параллелограмм, причём $M$ - точка пересечения его диагоналей (рис.).
Отсюда следует, что точки $O, M, H$ лежат на одной прямой и $OM = MH$.
