Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2096
2019-02-08 
Найти все равнобедренные треугольники, которые нельзя разрезать на три равнобедренных треугольника с одинаковыми боковыми сторонами.
Решение:
Остроугольный треугольник можно разрезать радиусами описанной окружности на три равнобедренных с равными боковыми сторонами. Если треугольник $ABC$ - тупоугольный ($C$ - тупой угол), то возьмём на стороне $AB$ точки $A^{\prime}, B^{\prime}$ такие, что
$AB^{\prime} = B^{\prime}C = CA^{\prime} = A^{\prime}B$,
и разрежем треугольник на треугольники $AB^{\prime}C, A^{\prime}B^{\prime}C$ и $A^{\prime}BC$ (рис.).
Очевидно, что существует два существенно различных способа разрезания треугольника на три: соединить внутреннюю точку с вершинами или разрезать треугольник на два прямой, проходящей через вершину, а затем повторить эту операцию с одной из двух частей (рис.).
Докажем, что прямоугольный треугольник $ABC (AC = BC)$ разрезать требуемым образом нельзя.
B первом случае треугольник $AXB$ может быть равнобедренным только при $AX = BX$, но тогда два других треугольника равнобедренными не будут. Bо втором случае хотя бы один из получающихся при первом разрезе треугольников должен быть равнобедренным. Следовательно, первая прямая либо является биссектрисой прямого угла, либо соединяет точку $C$ с точкой $D$ на гипотенузе, для которой $AD = AC$. Ни в том, ни в другом случае провести вторую прямую так, чтобы получить нужное разрезание, невозможно.
Найти все равнобедренные треугольники, которые нельзя разрезать на три равнобедренных треугольника с одинаковыми боковыми сторонами.
Решение:
Остроугольный треугольник можно разрезать радиусами описанной окружности на три равнобедренных с равными боковыми сторонами. Если треугольник $ABC$ - тупоугольный ($C$ - тупой угол), то возьмём на стороне $AB$ точки $A^{\prime}, B^{\prime}$ такие, что
$AB^{\prime} = B^{\prime}C = CA^{\prime} = A^{\prime}B$,
и разрежем треугольник на треугольники $AB^{\prime}C, A^{\prime}B^{\prime}C$ и $A^{\prime}BC$ (рис.).
Очевидно, что существует два существенно различных способа разрезания треугольника на три: соединить внутреннюю точку с вершинами или разрезать треугольник на два прямой, проходящей через вершину, а затем повторить эту операцию с одной из двух частей (рис.).
Докажем, что прямоугольный треугольник $ABC (AC = BC)$ разрезать требуемым образом нельзя.
B первом случае треугольник $AXB$ может быть равнобедренным только при $AX = BX$, но тогда два других треугольника равнобедренными не будут. Bо втором случае хотя бы один из получающихся при первом разрезе треугольников должен быть равнобедренным. Следовательно, первая прямая либо является биссектрисой прямого угла, либо соединяет точку $C$ с точкой $D$ на гипотенузе, для которой $AD = AC$. Ни в том, ни в другом случае провести вторую прямую так, чтобы получить нужное разрезание, невозможно.
