Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2089
2019-02-08 
Как известно, Луна вращается вокруг Земли. Будем считать, что Земля и Луна - это точки, а Луна вращается вокруг Земли по круговой орбите с периодом один оборот в месяц. Летающая тарелка находится в плоскости лунной орбиты. Oна может перемещаться прыжками через Луну и Землю - из старого места (точки $A$) она моментально? появляется в новом (в точке $A^{\prime}$) так, что в середине отрезка $AA^{\prime}$ находится или Луна, или Земля. Между прыжками летающая тарелка неподвижно висит в космическом пространстве.
а) Определите, какое минимальное количество прыжков потребуется летающей тарелке, чтобы допрыгнуть из любой точки внутри лунной орбиты до любой другой точки внутри лунной орбиты.
б) Докажите, что летающая тарелка, используя неограниченное количество прыжков, может допрыгнуть из любой точки внутри лунной орбиты до любой другой точки внутри лунной орбиты за любой промежуток времени, например, за секунду.
Решение:
а) Из любой точки внутри лунной орбиты можно допрыгнуть до любой другой точки внутри лунной орбиты за два прыжка. Для этого оба раза надо прыгнуть относительно Луны: сначала в момент, когда Луна находится в точке $L_1$, а второй раз - когда Луна находится в точке $L_2$. После двух прыжков летающая тарелка переместится на вектор $2\vec{L_1L_2}$.
Для любых двух точек внутри орбиты $X$ и $Y$ можно найти хорду $L_1L_2$, такую что $\vec{XY} = 2\vec{L_1L_2}$. Эту хорду можно, например, построить, проведя диаметр, параллельный $XY$, и отложить на нём отрезок длиной $XY/2$, середина которого совпадает с центром окружности $Z$, а затем из концов этого отрезка провести перпендикуляры, которые и отсекут искомую хорду.
А можно рассмотреть гомотетии с центрами в точках $X$ и $Y$ и коэффициентом 2. Образы лунной орбиты при этом должны пересечься, поскольку, если радиус лунной орбиты $R$ и центры образов $O_x, O_y$, то (рис.)
$O_xO_y < XY + 2(XZ + YZ) < 4R$.
б) Пусть начальное положение Луны - $L_0$, конечное - $L_1$. Будем рассматривать пару прыжков сначала относительно Земли, а потом относительно Луны как двойной прыжок. При этом тарелка перемещается на вектор $2\vec{ZL}$, конец этого вектора - точка $T$ - будет лежать на дуге $t_0t_1$ окружности с центром в $Z$ и радиусом, вдвое большим, чем радиус орбиты Луны. Будем такие вектора в дальнейшем обозначать просто $T$ . Мы прыгаем мгновенно, значит, в любой момент времени мы можем прыгнуть на целое число прыжков $k\vec{T}$ (чтобы прыгнуть на вектор - $T$, сначала надо прыгнуть относительно Луны, а потом относительно Земли). Теперь, чтобы из точки $X$ попасть в точку $Y$, надо представить вектор $XY$ как конечную сумму векторов, состоящих из слагаемых вида $k_i\vec{T_i}, k_i \in Z$, а $T_i$ - некоторый набор точек на дуге $t_0t_1$, расположенных последовательно друг за другом (рис.).
Cначала представим $\vec{XY}$ в виде суммы $\vec{\upsilon_1} + \vec{\upsilon_2}$ так, чтобы оба этих вектора были бы перпендикулярны некоторым радиусам нашего сектора. Это можно сделать, положив $\vec{\upsilon_1} = \lambda (\vec{t_1} - \vec{t_0}), \vec{\upsilon_2} = \vec{XY} - \vec{\upsilon_1}$. Поскольку $\vec{\upsilon_1}$ перпендикулярен «серединному» радиусу при всех значениях $\lambda$ и при увеличении $\lambda$ по модулю $\vec{\upsilon_2}$ стремится к $-\vec{\upsilon_1}$ то при достаточно большом $\lambda \vec{\upsilon_2}$ также будет перпендикулярен некоторому радиусу. Очевидно, что найдутся достаточно большие по модулю целые $m_1$ и $m_2$ и некоторые точки на дуге $T_1, T_2, T_3, T_4$, расположенные последовательно и такие, что $\vec{\upsilon_1} = m_1(\vec{T_2} - \vec{T_1})$ и $\vec{\upsilon_2} = m_2(\vec{T_3} - \vec{T_4})$. Искомое представление получено.
Как известно, Луна вращается вокруг Земли. Будем считать, что Земля и Луна - это точки, а Луна вращается вокруг Земли по круговой орбите с периодом один оборот в месяц. Летающая тарелка находится в плоскости лунной орбиты. Oна может перемещаться прыжками через Луну и Землю - из старого места (точки $A$) она моментально? появляется в новом (в точке $A^{\prime}$) так, что в середине отрезка $AA^{\prime}$ находится или Луна, или Земля. Между прыжками летающая тарелка неподвижно висит в космическом пространстве.
а) Определите, какое минимальное количество прыжков потребуется летающей тарелке, чтобы допрыгнуть из любой точки внутри лунной орбиты до любой другой точки внутри лунной орбиты.
б) Докажите, что летающая тарелка, используя неограниченное количество прыжков, может допрыгнуть из любой точки внутри лунной орбиты до любой другой точки внутри лунной орбиты за любой промежуток времени, например, за секунду.
Решение:
а) Из любой точки внутри лунной орбиты можно допрыгнуть до любой другой точки внутри лунной орбиты за два прыжка. Для этого оба раза надо прыгнуть относительно Луны: сначала в момент, когда Луна находится в точке $L_1$, а второй раз - когда Луна находится в точке $L_2$. После двух прыжков летающая тарелка переместится на вектор $2\vec{L_1L_2}$.
Для любых двух точек внутри орбиты $X$ и $Y$ можно найти хорду $L_1L_2$, такую что $\vec{XY} = 2\vec{L_1L_2}$. Эту хорду можно, например, построить, проведя диаметр, параллельный $XY$, и отложить на нём отрезок длиной $XY/2$, середина которого совпадает с центром окружности $Z$, а затем из концов этого отрезка провести перпендикуляры, которые и отсекут искомую хорду.
А можно рассмотреть гомотетии с центрами в точках $X$ и $Y$ и коэффициентом 2. Образы лунной орбиты при этом должны пересечься, поскольку, если радиус лунной орбиты $R$ и центры образов $O_x, O_y$, то (рис.)
$O_xO_y < XY + 2(XZ + YZ) < 4R$.
б) Пусть начальное положение Луны - $L_0$, конечное - $L_1$. Будем рассматривать пару прыжков сначала относительно Земли, а потом относительно Луны как двойной прыжок. При этом тарелка перемещается на вектор $2\vec{ZL}$, конец этого вектора - точка $T$ - будет лежать на дуге $t_0t_1$ окружности с центром в $Z$ и радиусом, вдвое большим, чем радиус орбиты Луны. Будем такие вектора в дальнейшем обозначать просто $T$ . Мы прыгаем мгновенно, значит, в любой момент времени мы можем прыгнуть на целое число прыжков $k\vec{T}$ (чтобы прыгнуть на вектор - $T$, сначала надо прыгнуть относительно Луны, а потом относительно Земли). Теперь, чтобы из точки $X$ попасть в точку $Y$, надо представить вектор $XY$ как конечную сумму векторов, состоящих из слагаемых вида $k_i\vec{T_i}, k_i \in Z$, а $T_i$ - некоторый набор точек на дуге $t_0t_1$, расположенных последовательно друг за другом (рис.).
Cначала представим $\vec{XY}$ в виде суммы $\vec{\upsilon_1} + \vec{\upsilon_2}$ так, чтобы оба этих вектора были бы перпендикулярны некоторым радиусам нашего сектора. Это можно сделать, положив $\vec{\upsilon_1} = \lambda (\vec{t_1} - \vec{t_0}), \vec{\upsilon_2} = \vec{XY} - \vec{\upsilon_1}$. Поскольку $\vec{\upsilon_1}$ перпендикулярен «серединному» радиусу при всех значениях $\lambda$ и при увеличении $\lambda$ по модулю $\vec{\upsilon_2}$ стремится к $-\vec{\upsilon_1}$ то при достаточно большом $\lambda \vec{\upsilon_2}$ также будет перпендикулярен некоторому радиусу. Очевидно, что найдутся достаточно большие по модулю целые $m_1$ и $m_2$ и некоторые точки на дуге $T_1, T_2, T_3, T_4$, расположенные последовательно и такие, что $\vec{\upsilon_1} = m_1(\vec{T_2} - \vec{T_1})$ и $\vec{\upsilon_2} = m_2(\vec{T_3} - \vec{T_4})$. Искомое представление получено.
