Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2088
2019-02-08 
На плоскости даны три прямые $l_1, l_2, l_3$, образующие треугольник, и отмечена точка $O$ - центр описанной окружности этого треугольника. Для произвольной точки $O$ плоскости обозначим через $O_i$ точку, симметричную точке $O$ относительно прямой $l_i$.
а) Докажите, что для произвольной точки $M$ прямые, соединяющие середины отрезков $O_1O_2$ и $M_1M_2$, $O_2O_3$ и $M_2M_3$, $O_3O_1$ и $M_3M_1$, пересекаются в одной точке.
б) Где может лежать эта точка пересечения?
Решение:
Первый способ. Покажем, что эти прямые пересекаются в точке, лежащей на окружности Эйлера. (Напомним, что окружностью Эйлера треугольника $ABC$ называют окружность, описанную около его серединного треугольника, т. е. проходящую через середины его сторон. На этой окружности также лежат основания высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами.)
Пусть $ABC$ - треугольник, образованный прямыми $l_i, H$ - его ортоцентр. Тогда середины $O_2O_3, O_3O_1, O_1O_2$ совпадают с серединами отрезков $AH, BH, CH$ (в дальнейшем будем обозначать их $A_1, B_1, C_1$) и, стало быть, лежат на окружности Эйлера треугольника $ABC$. Действительно, стороны треугольника $O_1O_2O_3$ параллельны средним линиям треугольника $ABC$ и вдвое больше их, поскольку переводятся друг в друга гомотетией с центром в $O$ и коэффициентом 2. Следовательно, треугольник $O_1O_2O_3$ центрально симметричен $ABC$. Значит, прямая, проходящая через $C$ и середину $O_1O_2$, параллельна прямой, проходящей через $O_3$ и середину $AB$, т. е. совпадает с высотой треугольника $ABC$, а $H$ является центром гомотетии $ABC$ и $A_1B_1C_1$ (рис.).
Пусть, далее, $M$ - произвольная точка, $D$ - середина $M_1M_2$. Тогда
$\vec{DC_1}=\frac{\vec{DO_1} + \vec{DO_2}}{2}$
и, так как $\vec{M_1O_1}$ и $\vec{M_2O_2}$ получаются друг из друга поворотом вокруг точки $C$ на $2\angle C, \vec{DC_1}$ образует с каждым из них угол, равный $\angle C$. Kроме того, $\vec{M_1O_1}$ и $\vec{M_2O_2}$ переходят в $MO$ при симметрии относительно $CB$ и $CA$ соответственно, поэтому - $C_i$ и $MO$ образуют равные углы с биссектрисой угла $C$ (а значит, равные углы и с биссектрисой угла $C_1$ в треугольнике $A_1B_1C_1$, (рис.).
Проведя аналогичные рассуждения для двух других середин, приходим к выводу, что прямые, соединяющие $A_1, B_1, C_1$ с серединами сторон треугольника $M_1M_2M_3$, симметричны относительно биссектрис треугольника $A_1B_1C_1$ прямым, проходящим через $A_1, B_1, C_1$ и параллельным $OM$. B заключение воспользуемся следующей классической теоремой планиметрии.
Теорема. Тройка прямых, проходящих через вершины треугольника, пересекается в одной точке, расположенной на описанной около этого треугольника окружности, тогда и только тогда, когда прямые, симметричные данным относительно биссектрис соответствующих углов, параллельны. (Несложное доказательство использует простой подсчёт углов).
Согласно этой теореме тройка прямых в нашей задаче пересекается на описанной около треугольника $A_1B_1C_1$ окружности, т. е. на окружности Эйлера исходного треугольника.
Второй способ. Итак, $ABC$ - треугольник, образованный прямыми $l_i, H$ - его ортоцентр и $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ - основания высот, опущенных на стороны $BC, CA, AB$ соответственно. Дадим теперь следующее определение. Пусть имеются две подобные фигуры $\Phi_1$ и $\Phi_2$ и некоторое преобразование подобия $H$, переводящее одну фигуру в другую. Cкажем, что две фигуры $\Phi_1$ и $\Phi_2$ одинаково расположены относительно $\Phi_1$ и $\Phi_2$, если преобразование $H$ также переводит $\Phi_1$ в $\Phi_2$. Теперь докажем, что точки $M_1^{\prime}$ (середина $M_3M_2$) и $M$ одинаково расположены относительно треугольников $AB^{\prime}C^{\prime}$ и $ABC$ (как известно, эти треугольники подобны с коэффициентом $1/|\cos A|$, причём подобие это можно представить как композицию осевой симметрии относительно биссектрисы угла $A$ и гомотетии с центром в $A$ - см. замечание к решению задачи 2080). Для этого достаточно показать, что
$AM = \frac{AM_1^{\prime}}{|\cos A|}$
(отношение длин соответствующих отрезков равно коэффициенту подобия) и что отношение расстояний от точки $M_1^{\prime}$ до $AB$ и $AC$ обратно пропорционально отношению расстояний от $M$ до тех же сторон (т. е. прямая $AM_1^{\prime}$ при симметрии относительно биссектрисы угла $A$ переходит в прямую $AM$, рис.).
Пусть $P, Q$ - проекции $M$ на $AB$ и $AC$. Tак как $M_1^{\prime}Q$ - средняя линия треугольника $M_2MM_3$, то она перпендикулярна $AB$. Из тех же соображений $M_1P$ перпендикулярна $AC$, поэтому $M_1$ - ортоцентр треугольника $APQ$, а значит,
$AM_1^{\prime} = 2p \cos A$,
где $р$ - радиус окружности, описанной около $APQ$. Очевидно, что
$p=\frac{AM_1^{\prime}}{2}$.
Равенство же обратных отношений до сторон вытекает из подобия заштрихованных на рисунке треугольников. Tочно так же доказывается, что $M_2$ и $M$ одинаково расположены относительно $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ и $ABC$, а $M_3^{\prime}$ и $M$ - относительно $A^{\prime}B^{\prime}C$ и $ABC$. Теперь, если в качестве $M$ мы выберем точку $O$ - центр описанной около $ABC$ окружности, то, очевидно, точки $O_1^{\prime}, O_2^{\prime}, O_3^{\prime}$ будут серединами отрезков, соединяющих ортоцентр $H$ треугольника $ABC$ с его вершинами. (Поскольку прямые, соединяющие вершину треугольника с $H$ и $O$, симметричны относительно соответствующей биссектрисы, - факт, с которым мы уже сталкивались при решении задачи 2086 - и потому, например, точка $O_1^{\prime}$ лежит на прямой $AH$. Kроме того, $AO = R$ и $AH = 2R \cos A$, значит, $AO_1^{\prime} = AH/2$ и т.д.). Из доказанной нами одинаковой расположенности точек следует, что прямые $O_1^{\prime}M_1^{\prime}, O_2^{\prime}M_2^{\prime}$ и $O_3^{\prime}M_3^{\prime}$ одинаково расположены относительно треугольников $AB^{\prime}C^{\prime}, A^{\prime}BC^{\prime}$ и $A^{\prime}B^{\prime}C$ (рис.).
Kроме того, понятно (ведь при подобии треугольников соответственные элементы переходят в соответственные, и, значит, центры описанных окружностей переходят друг в друга), что и прямые $O_1^{\prime}A^{\prime} , O_2^{\prime}B^{\prime}$ и $O_3^{\prime}C^{\prime}$ одинаково расположены относительно тех же треугольников, причём все эти точки находятся на одной окружности - окружности Эйлера треугольника $ABC$. Наконец, отсюда заключаем, что углы между парами $O_1^{\prime}M_1^{\prime}$ и $O_1^{\prime}A^{\prime}, O_2^{\prime}M_2^{\prime}$ и $O_2^{\prime}B^{\prime}, O_3^{\prime}M_3^{\prime}$ и $O_3^{\prime}C^{\prime}$ одинаковы.
Таким образом, мы показали, что прямые $O_1^{\prime}M_1^{\prime}, O_2^{\prime}M_2^{\prime}$ и $O_3^{\prime}M_3^{\prime}$ пересекаются в одной точке, расположенной на окружности Эйлера исходного треугольника.
На плоскости даны три прямые $l_1, l_2, l_3$, образующие треугольник, и отмечена точка $O$ - центр описанной окружности этого треугольника. Для произвольной точки $O$ плоскости обозначим через $O_i$ точку, симметричную точке $O$ относительно прямой $l_i$.
а) Докажите, что для произвольной точки $M$ прямые, соединяющие середины отрезков $O_1O_2$ и $M_1M_2$, $O_2O_3$ и $M_2M_3$, $O_3O_1$ и $M_3M_1$, пересекаются в одной точке.
б) Где может лежать эта точка пересечения?
Решение:
Первый способ. Покажем, что эти прямые пересекаются в точке, лежащей на окружности Эйлера. (Напомним, что окружностью Эйлера треугольника $ABC$ называют окружность, описанную около его серединного треугольника, т. е. проходящую через середины его сторон. На этой окружности также лежат основания высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами.)
Пусть $ABC$ - треугольник, образованный прямыми $l_i, H$ - его ортоцентр. Тогда середины $O_2O_3, O_3O_1, O_1O_2$ совпадают с серединами отрезков $AH, BH, CH$ (в дальнейшем будем обозначать их $A_1, B_1, C_1$) и, стало быть, лежат на окружности Эйлера треугольника $ABC$. Действительно, стороны треугольника $O_1O_2O_3$ параллельны средним линиям треугольника $ABC$ и вдвое больше их, поскольку переводятся друг в друга гомотетией с центром в $O$ и коэффициентом 2. Следовательно, треугольник $O_1O_2O_3$ центрально симметричен $ABC$. Значит, прямая, проходящая через $C$ и середину $O_1O_2$, параллельна прямой, проходящей через $O_3$ и середину $AB$, т. е. совпадает с высотой треугольника $ABC$, а $H$ является центром гомотетии $ABC$ и $A_1B_1C_1$ (рис.).
Пусть, далее, $M$ - произвольная точка, $D$ - середина $M_1M_2$. Тогда
$\vec{DC_1}=\frac{\vec{DO_1} + \vec{DO_2}}{2}$
и, так как $\vec{M_1O_1}$ и $\vec{M_2O_2}$ получаются друг из друга поворотом вокруг точки $C$ на $2\angle C, \vec{DC_1}$ образует с каждым из них угол, равный $\angle C$. Kроме того, $\vec{M_1O_1}$ и $\vec{M_2O_2}$ переходят в $MO$ при симметрии относительно $CB$ и $CA$ соответственно, поэтому - $C_i$ и $MO$ образуют равные углы с биссектрисой угла $C$ (а значит, равные углы и с биссектрисой угла $C_1$ в треугольнике $A_1B_1C_1$, (рис.).
Проведя аналогичные рассуждения для двух других середин, приходим к выводу, что прямые, соединяющие $A_1, B_1, C_1$ с серединами сторон треугольника $M_1M_2M_3$, симметричны относительно биссектрис треугольника $A_1B_1C_1$ прямым, проходящим через $A_1, B_1, C_1$ и параллельным $OM$. B заключение воспользуемся следующей классической теоремой планиметрии.
Теорема. Тройка прямых, проходящих через вершины треугольника, пересекается в одной точке, расположенной на описанной около этого треугольника окружности, тогда и только тогда, когда прямые, симметричные данным относительно биссектрис соответствующих углов, параллельны. (Несложное доказательство использует простой подсчёт углов).
Согласно этой теореме тройка прямых в нашей задаче пересекается на описанной около треугольника $A_1B_1C_1$ окружности, т. е. на окружности Эйлера исходного треугольника.
Второй способ. Итак, $ABC$ - треугольник, образованный прямыми $l_i, H$ - его ортоцентр и $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ - основания высот, опущенных на стороны $BC, CA, AB$ соответственно. Дадим теперь следующее определение. Пусть имеются две подобные фигуры $\Phi_1$ и $\Phi_2$ и некоторое преобразование подобия $H$, переводящее одну фигуру в другую. Cкажем, что две фигуры $\Phi_1$ и $\Phi_2$ одинаково расположены относительно $\Phi_1$ и $\Phi_2$, если преобразование $H$ также переводит $\Phi_1$ в $\Phi_2$. Теперь докажем, что точки $M_1^{\prime}$ (середина $M_3M_2$) и $M$ одинаково расположены относительно треугольников $AB^{\prime}C^{\prime}$ и $ABC$ (как известно, эти треугольники подобны с коэффициентом $1/|\cos A|$, причём подобие это можно представить как композицию осевой симметрии относительно биссектрисы угла $A$ и гомотетии с центром в $A$ - см. замечание к решению задачи 2080). Для этого достаточно показать, что
$AM = \frac{AM_1^{\prime}}{|\cos A|}$
(отношение длин соответствующих отрезков равно коэффициенту подобия) и что отношение расстояний от точки $M_1^{\prime}$ до $AB$ и $AC$ обратно пропорционально отношению расстояний от $M$ до тех же сторон (т. е. прямая $AM_1^{\prime}$ при симметрии относительно биссектрисы угла $A$ переходит в прямую $AM$, рис.).
Пусть $P, Q$ - проекции $M$ на $AB$ и $AC$. Tак как $M_1^{\prime}Q$ - средняя линия треугольника $M_2MM_3$, то она перпендикулярна $AB$. Из тех же соображений $M_1P$ перпендикулярна $AC$, поэтому $M_1$ - ортоцентр треугольника $APQ$, а значит,
$AM_1^{\prime} = 2p \cos A$,
где $р$ - радиус окружности, описанной около $APQ$. Очевидно, что
$p=\frac{AM_1^{\prime}}{2}$.
Равенство же обратных отношений до сторон вытекает из подобия заштрихованных на рисунке треугольников. Tочно так же доказывается, что $M_2$ и $M$ одинаково расположены относительно $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ и $ABC$, а $M_3^{\prime}$ и $M$ - относительно $A^{\prime}B^{\prime}C$ и $ABC$. Теперь, если в качестве $M$ мы выберем точку $O$ - центр описанной около $ABC$ окружности, то, очевидно, точки $O_1^{\prime}, O_2^{\prime}, O_3^{\prime}$ будут серединами отрезков, соединяющих ортоцентр $H$ треугольника $ABC$ с его вершинами. (Поскольку прямые, соединяющие вершину треугольника с $H$ и $O$, симметричны относительно соответствующей биссектрисы, - факт, с которым мы уже сталкивались при решении задачи 2086 - и потому, например, точка $O_1^{\prime}$ лежит на прямой $AH$. Kроме того, $AO = R$ и $AH = 2R \cos A$, значит, $AO_1^{\prime} = AH/2$ и т.д.). Из доказанной нами одинаковой расположенности точек следует, что прямые $O_1^{\prime}M_1^{\prime}, O_2^{\prime}M_2^{\prime}$ и $O_3^{\prime}M_3^{\prime}$ одинаково расположены относительно треугольников $AB^{\prime}C^{\prime}, A^{\prime}BC^{\prime}$ и $A^{\prime}B^{\prime}C$ (рис.).
Kроме того, понятно (ведь при подобии треугольников соответственные элементы переходят в соответственные, и, значит, центры описанных окружностей переходят друг в друга), что и прямые $O_1^{\prime}A^{\prime} , O_2^{\prime}B^{\prime}$ и $O_3^{\prime}C^{\prime}$ одинаково расположены относительно тех же треугольников, причём все эти точки находятся на одной окружности - окружности Эйлера треугольника $ABC$. Наконец, отсюда заключаем, что углы между парами $O_1^{\prime}M_1^{\prime}$ и $O_1^{\prime}A^{\prime}, O_2^{\prime}M_2^{\prime}$ и $O_2^{\prime}B^{\prime}, O_3^{\prime}M_3^{\prime}$ и $O_3^{\prime}C^{\prime}$ одинаковы.
Таким образом, мы показали, что прямые $O_1^{\prime}M_1^{\prime}, O_2^{\prime}M_2^{\prime}$ и $O_3^{\prime}M_3^{\prime}$ пересекаются в одной точке, расположенной на окружности Эйлера исходного треугольника.
