Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2086
2019-02-08 
B остроугольном неравностороннем треугольнике отметили 4 точки: центры вписанной и описанной окружностей, центр тяжести (точка пересечения медиан) и ортоцентр (точка пересечения высот). Затем сам треугольник стёрли. Oказалось, что невозможно установить, какому центру соответствует каждая из отмеченных точек. Найдите углы треугольника.
Решение:
Треугольник, удовлетворяющий условию задачи, - равнобедренный с углами при основании, равными $arccos(1/4)$. Пусть $ABC$ - исходный треугольник, $A_1, B_1, C_1$ - середины сторон $BC, CA$ и $AB$ соответственно. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ гомотетичны относительно общего центра тяжести $M$ (с коэффициентом 1/2), центр $O$ описанной окружности треугольника $ABC$ является ортоцентром треугольника $A_1B_1C_1$, точка $M$ лежит на отрезке $OH$ ($H$ - ортоцентр треугольника $ABC$) и $HM = 2MO$ (прямая, содержащая эти три центра, называется прямой Эйлера треугольника $ABC$).
Поэтому если точка $I$ (центр вписанной окружности) не лежит на одной прямой с тремя остальными точками, то можно однозначно установить роль каждой из точек в треугольнике $ABC$. Отметим, что эта прямая проходит не более чем через одну вершину треугольника, так что можно считать, что точки $A$ и $B$ не лежат на ней. Так как
$\angle OBA = \angle HBC = \frac{\pi}{2} - \angle C$,
то $BI$ является биссектрисой угла $HBO$. Значит, точка $I$ лежит на отрезке $OH$, причём $OI = 2IH$ (иначе роль точек устанавливается однозначно).
По свойству биссектрисы получаем, что $BO = 2BH$. Рассуждая аналогично, получим, что $AO = 2AH$. Tаким образом,
$AH =BH = R/2$
где $R$ - радиус описанной около $ABC$ окружности. Заметим теперь, что из гомотетии, указанной в начале решения, следует также, что $AH = 2OA_1$ (и эти отрезки параллельны). Понятно также, что $OA_1 = R \cos A$. Поэтому
$AH = 2R \cos A$ и $\cos A = 1/4$.
Tочно так же доказывается, что $\cos B = 1/4$.
B остроугольном неравностороннем треугольнике отметили 4 точки: центры вписанной и описанной окружностей, центр тяжести (точка пересечения медиан) и ортоцентр (точка пересечения высот). Затем сам треугольник стёрли. Oказалось, что невозможно установить, какому центру соответствует каждая из отмеченных точек. Найдите углы треугольника.
Решение:
Треугольник, удовлетворяющий условию задачи, - равнобедренный с углами при основании, равными $arccos(1/4)$. Пусть $ABC$ - исходный треугольник, $A_1, B_1, C_1$ - середины сторон $BC, CA$ и $AB$ соответственно. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ гомотетичны относительно общего центра тяжести $M$ (с коэффициентом 1/2), центр $O$ описанной окружности треугольника $ABC$ является ортоцентром треугольника $A_1B_1C_1$, точка $M$ лежит на отрезке $OH$ ($H$ - ортоцентр треугольника $ABC$) и $HM = 2MO$ (прямая, содержащая эти три центра, называется прямой Эйлера треугольника $ABC$).
Поэтому если точка $I$ (центр вписанной окружности) не лежит на одной прямой с тремя остальными точками, то можно однозначно установить роль каждой из точек в треугольнике $ABC$. Отметим, что эта прямая проходит не более чем через одну вершину треугольника, так что можно считать, что точки $A$ и $B$ не лежат на ней. Так как
$\angle OBA = \angle HBC = \frac{\pi}{2} - \angle C$,
то $BI$ является биссектрисой угла $HBO$. Значит, точка $I$ лежит на отрезке $OH$, причём $OI = 2IH$ (иначе роль точек устанавливается однозначно).
По свойству биссектрисы получаем, что $BO = 2BH$. Рассуждая аналогично, получим, что $AO = 2AH$. Tаким образом,
$AH =BH = R/2$
где $R$ - радиус описанной около $ABC$ окружности. Заметим теперь, что из гомотетии, указанной в начале решения, следует также, что $AH = 2OA_1$ (и эти отрезки параллельны). Понятно также, что $OA_1 = R \cos A$. Поэтому
$AH = 2R \cos A$ и $\cos A = 1/4$.
Tочно так же доказывается, что $\cos B = 1/4$.
