Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2085
2019-02-08 
Дана окружность с центром в начале координат. Докажите, что найдётся окружность меньшего радиуса, на которой лежит не меньше точек с целыми координатами.
Решение:
Рассмотрим поворотную гомотетию с центром в начале координат, коэффициентом $1/ \sqrt{2}$ и углом поворота $\pi/4$. Если квадрат радиуса данной окружности чётное число, то все её целые точки переходят в целые, и мы получаем искомую окружность. Если квадрат радиуса нечётное число, то все целые точки переходят в центры единичных квадратов с вершинами в целых точках, и искомая окружность получается после переноса на вектор $(1/2, 1/2)$. Это достаточно очевидно из наглядных соображений - на рис. изображено действие на целочисленную решётку сначала сжатием, а потом поворотом.
Чисто формально, точка с координатами $(x, y)$ под действием указанных поворота и растяжения переходит в точку с координатами
$(x^{\prime}, y^{\prime}) = \left ( \frac{x-y}{2}, \frac{x+y}{2} \right )$.
EЕсли квадрат радиуса - чётное число, то $x$ и $y$ одной чётности, поэтому
$x^{\prime}, y^{\prime}$ - целые и
$x^{\prime 2} + y^{\prime 2} = \frac{x^2+y^2}{2} = \frac{R^2}{2}$.
Если же квадрат радиуса - число нечётное, то чётность $x$ и $y$ различна, поэтому после сдвига на вектор $(1/2, 1/2)$ получим целую точку $(x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime})$ и
$\left (x^{\prime \prime} - \frac{1}{2} \right )^2 + \left (y^{\prime \prime} - \frac{1}{2} \right )^2 = \frac{R^2}{2}$.
Дана окружность с центром в начале координат. Докажите, что найдётся окружность меньшего радиуса, на которой лежит не меньше точек с целыми координатами.
Решение:
Рассмотрим поворотную гомотетию с центром в начале координат, коэффициентом $1/ \sqrt{2}$ и углом поворота $\pi/4$. Если квадрат радиуса данной окружности чётное число, то все её целые точки переходят в целые, и мы получаем искомую окружность. Если квадрат радиуса нечётное число, то все целые точки переходят в центры единичных квадратов с вершинами в целых точках, и искомая окружность получается после переноса на вектор $(1/2, 1/2)$. Это достаточно очевидно из наглядных соображений - на рис. изображено действие на целочисленную решётку сначала сжатием, а потом поворотом.
Чисто формально, точка с координатами $(x, y)$ под действием указанных поворота и растяжения переходит в точку с координатами
$(x^{\prime}, y^{\prime}) = \left ( \frac{x-y}{2}, \frac{x+y}{2} \right )$.
EЕсли квадрат радиуса - чётное число, то $x$ и $y$ одной чётности, поэтому
$x^{\prime}, y^{\prime}$ - целые и
$x^{\prime 2} + y^{\prime 2} = \frac{x^2+y^2}{2} = \frac{R^2}{2}$.
Если же квадрат радиуса - число нечётное, то чётность $x$ и $y$ различна, поэтому после сдвига на вектор $(1/2, 1/2)$ получим целую точку $(x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime})$ и
$\left (x^{\prime \prime} - \frac{1}{2} \right )^2 + \left (y^{\prime \prime} - \frac{1}{2} \right )^2 = \frac{R^2}{2}$.
