Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2083
2019-02-08 
Дан треугольник $ABC$ и две прямые $l_1, l_2$. Через произвольную точку $D$ на стороне $AB$ проводится прямая, параллельная $l_1$, пересекающая $AC$ в точке $E$, и прямая, параллельная $l_2$, пересекающая $BC$ в точке $F$. Построить точку $D$, для которой отрезок $EF$ имеет наименьшую длину.
Решение:
Пусть $P$ - точка пересечения перпендикуляров восставленных к $AC$ в точке $E$ и к $BC$ в точке $F$. Когда $D$ двигается по $AB$, стороны четырёхугольника $DEPF$ сохраняют направления, и, так как три вершины четырёхугольника двигаются по прямым, четвёртая также движется по прямой. Следовательно, середина отрезка $CP$, являющаяся центром описанной окружности треугольника $CEF$, также двигается по прямой (рис.). Значит, все эти окружности имеют общую хорду, т. е. помимо $C$, ещё одну общую точку $Q$. Поскольку хорда $EF$ стягивает постоянный $\angle C$, то её длина будет минимальной при минимальном радиусе описанной около $CEF$ окружности. Однако среди всех окружностей, содержащих общую хорду, минимальный радиус, очевидно, будет иметь та из них, для которой эта хорда $CQ$ является диаметром.
Отсюда вытекает, например, следующий способ построения точки $D$. Проведём через $A$ прямую, параллельную $l_2$, и найдём точку $U$ её пересечения с $BC$. Через $B$ проведём прямую, параллельную $l_1$, и найдём точку $V$ её пересечения с $AC$. Пусть $Q$ - вторая точка пересечения окружностей, описанных около $ACU$ и $BCV, E$ - вторая точка пересечения прямой $AC$ и окружности с диаметром $CQ$. Тогда прямая, проходящая через $E$ и параллельная $l_1$, пересекает $AB$ в искомой точке.
Дан треугольник $ABC$ и две прямые $l_1, l_2$. Через произвольную точку $D$ на стороне $AB$ проводится прямая, параллельная $l_1$, пересекающая $AC$ в точке $E$, и прямая, параллельная $l_2$, пересекающая $BC$ в точке $F$. Построить точку $D$, для которой отрезок $EF$ имеет наименьшую длину.
Решение:
Пусть $P$ - точка пересечения перпендикуляров восставленных к $AC$ в точке $E$ и к $BC$ в точке $F$. Когда $D$ двигается по $AB$, стороны четырёхугольника $DEPF$ сохраняют направления, и, так как три вершины четырёхугольника двигаются по прямым, четвёртая также движется по прямой. Следовательно, середина отрезка $CP$, являющаяся центром описанной окружности треугольника $CEF$, также двигается по прямой (рис.). Значит, все эти окружности имеют общую хорду, т. е. помимо $C$, ещё одну общую точку $Q$. Поскольку хорда $EF$ стягивает постоянный $\angle C$, то её длина будет минимальной при минимальном радиусе описанной около $CEF$ окружности. Однако среди всех окружностей, содержащих общую хорду, минимальный радиус, очевидно, будет иметь та из них, для которой эта хорда $CQ$ является диаметром.
Отсюда вытекает, например, следующий способ построения точки $D$. Проведём через $A$ прямую, параллельную $l_2$, и найдём точку $U$ её пересечения с $BC$. Через $B$ проведём прямую, параллельную $l_1$, и найдём точку $V$ её пересечения с $AC$. Пусть $Q$ - вторая точка пересечения окружностей, описанных около $ACU$ и $BCV, E$ - вторая точка пересечения прямой $AC$ и окружности с диаметром $CQ$. Тогда прямая, проходящая через $E$ и параллельная $l_1$, пересекает $AB$ в искомой точке.
