Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2081
2019-02-08 
Квадрат разрезали на $n$ прямоугольников $a_i \times b_i, i = 1, \cdots, n$. При каком наименьшем $n$ в наборе $a_1, \cdots, a_n, b_1 \cdots, b_n$ все числа могут оказаться различными?
Решение:
Наименьшее значение $n = 5$. Покажем сначала, что никакой прямоугольник (в частности, квадрат) нельзя разрезать ни на два, ни на три, ни на четыре прямоугольника с различными сторонами. Очевидно, что если прямоугольник разрезан на два прямоугольника, то у них есть общая сторона. Пусть, далее, прямоугольник разрезан на три прямоугольника. Тогда один из них содержит две вершины исходного треугольника (так как три прямоугольника должны накрыть все четыре вершины исходного), и мы свели задачу к предыдущему случаю (оставшаяся часть - прямоугольник, который необходимо разбить на два).
Наконец, допустим, что прямоугольник разрезан на четыре других. Имеем две возможности: либо один из прямоугольников разбиения содержит две вершины исходного (и мы сводим задачу к разрезанию прямоугольника на три части), либо каждый из прямоугольников разбиения содержит по одной вершине исходного. B последнем случае рассмотрим два прямоугольника, содержащие соседние вершины (рис).
Oни должны соприкасаться (так как очевидно, что если бы был «зазор» между ними, то его нельзя было бы покрыть двумя прямоугольниками, содержащими остальные две вершины исходного). Рассмотрим тот прямоугольник из оставшихся, который содержит точку $P$. Он не может содержать вершину $C$, следовательно, он содержит вершину $D$ и, значит, имеет общую сторону с первым прямоугольником.
Предъявим теперь одно из возможных разрезаний квадрата на 5 различных прямоугольников (рис.).
Квадрат разрезали на $n$ прямоугольников $a_i \times b_i, i = 1, \cdots, n$. При каком наименьшем $n$ в наборе $a_1, \cdots, a_n, b_1 \cdots, b_n$ все числа могут оказаться различными?
Решение:
Наименьшее значение $n = 5$. Покажем сначала, что никакой прямоугольник (в частности, квадрат) нельзя разрезать ни на два, ни на три, ни на четыре прямоугольника с различными сторонами. Очевидно, что если прямоугольник разрезан на два прямоугольника, то у них есть общая сторона. Пусть, далее, прямоугольник разрезан на три прямоугольника. Тогда один из них содержит две вершины исходного треугольника (так как три прямоугольника должны накрыть все четыре вершины исходного), и мы свели задачу к предыдущему случаю (оставшаяся часть - прямоугольник, который необходимо разбить на два).
Наконец, допустим, что прямоугольник разрезан на четыре других. Имеем две возможности: либо один из прямоугольников разбиения содержит две вершины исходного (и мы сводим задачу к разрезанию прямоугольника на три части), либо каждый из прямоугольников разбиения содержит по одной вершине исходного. B последнем случае рассмотрим два прямоугольника, содержащие соседние вершины (рис).
Oни должны соприкасаться (так как очевидно, что если бы был «зазор» между ними, то его нельзя было бы покрыть двумя прямоугольниками, содержащими остальные две вершины исходного). Рассмотрим тот прямоугольник из оставшихся, который содержит точку $P$. Он не может содержать вершину $C$, следовательно, он содержит вершину $D$ и, значит, имеет общую сторону с первым прямоугольником.
Предъявим теперь одно из возможных разрезаний квадрата на 5 различных прямоугольников (рис.).
