Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2080
2019-02-08 
Разрежьте неравносторонний треугольник на четыре подобных треугольника, среди которых не все одинаковы.
Решение:
Пусть $AB \neq AC$. Проведём отрезок $B^{ \prime}C^{ \prime}$ так, чтобы $\angle AC^{ \prime}B^{ \prime} = \angle ACB$ (рис.).
Ясно, что треугольники $ABC$ и $AB^{ \prime}C^{ \prime}$ подобны, при этом $B^{ \prime}C^{ \prime}$ не параллелен $BC$. Отметим середину отрезка $B^{ \prime}C^{ \prime}$ - точку $M$, и достроим треугольник $AB^{ \prime}C^{ \prime}$ до параллелограмма $AB^{ \prime}A^{ \prime}C^{ \prime}$. Далее найдём точку $A_1$ пересечения $AM$ и $BC$ и построим параллелограмм $AB_1A_1C_1$. Отрезки $A_1C_1, B_1A_1$ и $B_1C_1$ осуществляют искомое разрезание.
Замечание. B сущности, приведённое решение использует так называемую симедиану треугольника. Симедианой называется прямая, симметричная медиане относительно биссектрисы угла треугольника, через вершину которого проходит медиана. Назовём параллелью (к стороне $BC$ треугольника) любой отрезок $PQ$ c концами на прямых $AB$ и $AC$, параллельный $BC$. Понятно, что $\angle APQ = \angle ABC$ и $\angle AQP = \angle ACB$ (![]()
). Назовём антипараллелью (к стороне $BC$ треугольника) любой отрезок $RT$ c концами на прямых $AB$ и $AC$ такой, что $\angle ART = \angle ACB$ и $\angle ATR = \angle ABC$. (Как несложно проверить, антипараллелью, в частности, является отрезок, образованный основаниями соответствующих высот треугольника.) Очевидно, что отрезок является параллелью тогда и только тогда, когда соответствующая медиана делит его пополам. Поскольку симметрия относительно прямой сохраняет углы и длины отрезков, из этого утверждения вытекает следующая лемма.
Лемма. Oтрезок является антипараллелью тогда и только тогда, когда соответствующая симедиана делит его пополам (рис.).
Теперь осуществим искомое разрезание (рис.)
Допустим, что $AB \neq AC$. Пусть $AA_1$ - симедиана треугольника, $A_1C_1$ и $A_1B_1$ - параллели к сторонам $AC$ и $AB$ соответственно. Поскольку $A_1C_1AB_1$ - параллелограмм, то его диагонали делятся точкой пересечения пополам, т. е. середина $C_1B_1$ лежит на симедиане, и потому, согласно лемме, отрезок $C_1B_1$ является антипараллелью. Легко проверить, что треугольники $A_1B_1C_1, AB_1C_1, C_1BA_1$ и $B_1A_1C$ подобны треугольнику $ABC$, и не все одинаковы. (Для неравнобедренного треугольника основание симедианы $A_1$ не совпадает с серединой $BC$. Можно даже показать, что $BA_1/CA_1 = AB^2/AC^2$ - ещё одно интересное свойство симедианы.)
Разрежьте неравносторонний треугольник на четыре подобных треугольника, среди которых не все одинаковы.
Решение:
Пусть $AB \neq AC$. Проведём отрезок $B^{ \prime}C^{ \prime}$ так, чтобы $\angle AC^{ \prime}B^{ \prime} = \angle ACB$ (рис.).
Ясно, что треугольники $ABC$ и $AB^{ \prime}C^{ \prime}$ подобны, при этом $B^{ \prime}C^{ \prime}$ не параллелен $BC$. Отметим середину отрезка $B^{ \prime}C^{ \prime}$ - точку $M$, и достроим треугольник $AB^{ \prime}C^{ \prime}$ до параллелограмма $AB^{ \prime}A^{ \prime}C^{ \prime}$. Далее найдём точку $A_1$ пересечения $AM$ и $BC$ и построим параллелограмм $AB_1A_1C_1$. Отрезки $A_1C_1, B_1A_1$ и $B_1C_1$ осуществляют искомое разрезание.
Замечание. B сущности, приведённое решение использует так называемую симедиану треугольника. Симедианой называется прямая, симметричная медиане относительно биссектрисы угла треугольника, через вершину которого проходит медиана. Назовём параллелью (к стороне $BC$ треугольника) любой отрезок $PQ$ c концами на прямых $AB$ и $AC$, параллельный $BC$. Понятно, что $\angle APQ = \angle ABC$ и $\angle AQP = \angle ACB$ (
Лемма. Oтрезок является антипараллелью тогда и только тогда, когда соответствующая симедиана делит его пополам (рис.).
Теперь осуществим искомое разрезание (рис.)
Допустим, что $AB \neq AC$. Пусть $AA_1$ - симедиана треугольника, $A_1C_1$ и $A_1B_1$ - параллели к сторонам $AC$ и $AB$ соответственно. Поскольку $A_1C_1AB_1$ - параллелограмм, то его диагонали делятся точкой пересечения пополам, т. е. середина $C_1B_1$ лежит на симедиане, и потому, согласно лемме, отрезок $C_1B_1$ является антипараллелью. Легко проверить, что треугольники $A_1B_1C_1, AB_1C_1, C_1BA_1$ и $B_1A_1C$ подобны треугольнику $ABC$, и не все одинаковы. (Для неравнобедренного треугольника основание симедианы $A_1$ не совпадает с серединой $BC$. Можно даже показать, что $BA_1/CA_1 = AB^2/AC^2$ - ещё одно интересное свойство симедианы.)
