Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2079
2019-02-08 
Пусть $O$ - центр правильного треугольника $ABC$. Из произвольной точки $P$ плоскости опустили перпендикуляры на стороны треугольника или их продолжения. Обозначим через $M$ точку пересечения медиан треугольника с вершинами в основаниях перпендикуляров. Докажите, что $M$ - середина отрезка $PO$.
Решение:
Нам нужно доказать, что $2\vec{PM} = \vec{PO}$. Как известно, если $G$ - точка пересечения медиан некоторого треугольника $ABC$, то для произвольной точки $P$ выполняется равенство
$3\vec{PG} = \vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC}$.
C учётом этого свойства задачу можно переформулировать следующим образом. Пусть имеется правильный треугольник $ABC$ и произвольная точка $P$. Рассмотрим векторы $\vec{PA}, \vec{PB}, \vec{PC}$, а также три вектора $\vec{n_a}(P), \vec{n_b}(P)$ и $\vec{n_c}(P)$, начало каждого из которых расположено в точке $P$, а конец - на основании перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на сторону треугольника. Тогда
$2(\vec{n_a}(P) + \vec{n_b}(P) + \vec{n_c}(P)) = \vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC}$.
Для доказательства рассмотрим ещё шесть векторов, каждый из которых лежит на прямой, параллельной стороне треугольника и проходящей через точку $P$ (рис.).
Начало каждого такого вектора расположено в точке $P$, а конец на одной из сторон треугольника. (На рисунке изображён случай, когда точка $P$ лежит внутри треугольника.) Через эти векторы легко выразить как векторы, соединяющие $P$ с вершинами, так и векторы с концами в основаниях перпендикуляров, поскольку параллельные линии разбивают треугольник на правильные треугольники и параллелограммы. Kак видим, наше утверждение доказано. Легко также убедиться в том, что эти же рассуждения проходят и в случае, когда точка $P$ расположена вне треугольника $ABC$.
Пусть $O$ - центр правильного треугольника $ABC$. Из произвольной точки $P$ плоскости опустили перпендикуляры на стороны треугольника или их продолжения. Обозначим через $M$ точку пересечения медиан треугольника с вершинами в основаниях перпендикуляров. Докажите, что $M$ - середина отрезка $PO$.
Решение:
Нам нужно доказать, что $2\vec{PM} = \vec{PO}$. Как известно, если $G$ - точка пересечения медиан некоторого треугольника $ABC$, то для произвольной точки $P$ выполняется равенство
$3\vec{PG} = \vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC}$.
C учётом этого свойства задачу можно переформулировать следующим образом. Пусть имеется правильный треугольник $ABC$ и произвольная точка $P$. Рассмотрим векторы $\vec{PA}, \vec{PB}, \vec{PC}$, а также три вектора $\vec{n_a}(P), \vec{n_b}(P)$ и $\vec{n_c}(P)$, начало каждого из которых расположено в точке $P$, а конец - на основании перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на сторону треугольника. Тогда
$2(\vec{n_a}(P) + \vec{n_b}(P) + \vec{n_c}(P)) = \vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC}$.
Для доказательства рассмотрим ещё шесть векторов, каждый из которых лежит на прямой, параллельной стороне треугольника и проходящей через точку $P$ (рис.).
Начало каждого такого вектора расположено в точке $P$, а конец на одной из сторон треугольника. (На рисунке изображён случай, когда точка $P$ лежит внутри треугольника.) Через эти векторы легко выразить как векторы, соединяющие $P$ с вершинами, так и векторы с концами в основаниях перпендикуляров, поскольку параллельные линии разбивают треугольник на правильные треугольники и параллелограммы. Kак видим, наше утверждение доказано. Легко также убедиться в том, что эти же рассуждения проходят и в случае, когда точка $P$ расположена вне треугольника $ABC$.
