Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2078
2019-02-08 
Bокруг выпуклого четырёхугольника $ABCD$ описаны три прямоугольника. Известно, что два из этих прямоугольников являются квадратами. Верно ли, что и третий обязательно является квадратом? (Прямоугольник описан около четырёхугольника $ABCD$, если на каждой стороне прямоугольника лежит по одной вершине четырёхугольника).
Решение:
Третий прямоугольник также будет квадратом. Доказательство основано на следующем свойстве квадрата. Пусть точки $A$ и $C$ лежат на одной паре противоположных сторон квадрата, а $B$ и $D$ - на другой. Тогда условия $AC \perp BD$ и $AC = BD$ являются равносильными (рис.) .
Это сразу следует из равенства прямоугольных треугольников, показанных на рисунке. Проведём в нашем четырёхугольнике, вписанном в два квадрата, из точки $A$ прямую, перпендикулярную $BD$, и отметим точки её пересечения с соответствующими сторонами квадрата $C_1$ и $C_2$ (рис.).
Из указанного выше свойства квадрата вытекает, что $AC_1 = BD$ и $AC_2 = BD$, т. е. $AC_1 = AC_2$ и точки $C_1, C_2$ должны совпадать. Но у двух сторон квадратов, содержащих эти точки, имеется только одна общая точка - $C$. Значит, построенный нами перпендикуляр совпадает с $AC$, и, следовательно, диагонали четырёхугольника $ABCD$ равны и перпендикулярны. Очевидно, что если четырёхугольник с таким свойством вписан в прямоугольник, то прямоугольник является квадратом.
Bокруг выпуклого четырёхугольника $ABCD$ описаны три прямоугольника. Известно, что два из этих прямоугольников являются квадратами. Верно ли, что и третий обязательно является квадратом? (Прямоугольник описан около четырёхугольника $ABCD$, если на каждой стороне прямоугольника лежит по одной вершине четырёхугольника).
Решение:
Третий прямоугольник также будет квадратом. Доказательство основано на следующем свойстве квадрата. Пусть точки $A$ и $C$ лежат на одной паре противоположных сторон квадрата, а $B$ и $D$ - на другой. Тогда условия $AC \perp BD$ и $AC = BD$ являются равносильными (рис.) .
Это сразу следует из равенства прямоугольных треугольников, показанных на рисунке. Проведём в нашем четырёхугольнике, вписанном в два квадрата, из точки $A$ прямую, перпендикулярную $BD$, и отметим точки её пересечения с соответствующими сторонами квадрата $C_1$ и $C_2$ (рис.).
Из указанного выше свойства квадрата вытекает, что $AC_1 = BD$ и $AC_2 = BD$, т. е. $AC_1 = AC_2$ и точки $C_1, C_2$ должны совпадать. Но у двух сторон квадратов, содержащих эти точки, имеется только одна общая точка - $C$. Значит, построенный нами перпендикуляр совпадает с $AC$, и, следовательно, диагонали четырёхугольника $ABCD$ равны и перпендикулярны. Очевидно, что если четырёхугольник с таким свойством вписан в прямоугольник, то прямоугольник является квадратом.
