Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2076
2019-02-08 
Cторону $AB$ треугольника $ABC$ разделили на $n$ равных частей (точки деления $B_0 = A, B_1, B_2, ..., B_n = B$), а сторону $AC$ этого треугольника разделили на $n + 1$ равных частей (точки деления $C_0 = A, C_1, C_2, \cdots, C_{n+1} = C$). Закрасили треугольники $C_iB_iC_{i+1}$. Kакая часть площади треугольника закрашена?
Решение:
Покажем, что закрашенная часть составляет ровно половину площади всего треугольника. Для этого из точек $B_1, \cdots, B_n$ опустим перпендикуляры на сторону $AC$. Эти перпендикуляры являются высотами треугольников $C_iB_iC_{i+1}$ с одинаковыми основаниями, причём, как следует из соображений подобия, $h_i = ih_i$. Отсюда вытекает, что таким же соотношением будут связаны площади закрашенных треугольников: $S_i = iS_1$. (На рис. изображён случай $n = 4$.)
Oпустив затем перпендикуляры из точек $C_1, \cdots , C_n$ на сторону $AC$ и рассуждая аналогично, получим такое же соотношение для площадей незакрашенных треугольников. Oсталось заметить, что площадь первого закрашенного треугольника равна площади первого незакрашенного (их основания равны, а высота $h_1$ общая). Можно было завершить доказательство и по-другому, просто сложив площади заштрихованных треугольников.
Отметим, что равенство площадей соответствующих пар треугольников (закрашенного и незакрашенного) можно получить практически без вычислений, воспользовавшись тем, что прямые $B_iC_i$ параллельны друг другу (по теореме, обратной теореме Фалеса). Тогда $SB_{i-l}B_iC_i = Sc_{i-l}B_iC_i$ (у них общее основание $B_iC_i$, а вершины лежат на прямой, параллельной основанию) и $S_{C_{i-1}B_iC_i} = S_{B_iC_iC_{i+1}}$ (вершина $B_i$ общая, а $C_{i-1}C_i = C_iC_{i+1}$ по условию).
Cторону $AB$ треугольника $ABC$ разделили на $n$ равных частей (точки деления $B_0 = A, B_1, B_2, ..., B_n = B$), а сторону $AC$ этого треугольника разделили на $n + 1$ равных частей (точки деления $C_0 = A, C_1, C_2, \cdots, C_{n+1} = C$). Закрасили треугольники $C_iB_iC_{i+1}$. Kакая часть площади треугольника закрашена?
Решение:
Покажем, что закрашенная часть составляет ровно половину площади всего треугольника. Для этого из точек $B_1, \cdots, B_n$ опустим перпендикуляры на сторону $AC$. Эти перпендикуляры являются высотами треугольников $C_iB_iC_{i+1}$ с одинаковыми основаниями, причём, как следует из соображений подобия, $h_i = ih_i$. Отсюда вытекает, что таким же соотношением будут связаны площади закрашенных треугольников: $S_i = iS_1$. (На рис. изображён случай $n = 4$.)
Oпустив затем перпендикуляры из точек $C_1, \cdots , C_n$ на сторону $AC$ и рассуждая аналогично, получим такое же соотношение для площадей незакрашенных треугольников. Oсталось заметить, что площадь первого закрашенного треугольника равна площади первого незакрашенного (их основания равны, а высота $h_1$ общая). Можно было завершить доказательство и по-другому, просто сложив площади заштрихованных треугольников.
Отметим, что равенство площадей соответствующих пар треугольников (закрашенного и незакрашенного) можно получить практически без вычислений, воспользовавшись тем, что прямые $B_iC_i$ параллельны друг другу (по теореме, обратной теореме Фалеса). Тогда $SB_{i-l}B_iC_i = Sc_{i-l}B_iC_i$ (у них общее основание $B_iC_i$, а вершины лежат на прямой, параллельной основанию) и $S_{C_{i-1}B_iC_i} = S_{B_iC_iC_{i+1}}$ (вершина $B_i$ общая, а $C_{i-1}C_i = C_iC_{i+1}$ по условию).
