Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2075
2019-02-08 
Имеются две параллельные прямые $p_1$ и $p_2$. Tочки $A$ и $B$ лежат на $p_1$, а $C$ на $p_2$. Будем перемещать отрезок $BC$ параллельно самому себе и рассмотрим все треугольники $ABC$, полученные таким образом. Найдите геометрическое место точек, являющихся в этих треугольниках: а) точками пересечения высот; б) точками пересечения медиан; в) центрами описанных окружностей.
Решение:
Получится прямая с выколотой точкой, которая соответствует случаю, когда треугольник вырождается в отрезок (рис.).
B первом случае, очевидно, имеем прямую, перпендикулярную $BC$ и проходящую через вершину $A$. Bо втором случае ответом будет прямая, параллельная данным прямым и делящая отрезок с концами на этих прямых в отношении 1 : 2, считая от первой прямой. B самом деле, если отрезок $BC$ движется с постоянной скоростью, значит, и его середина движется с постоянной скоростью. Tочка пересечения медиан делит отрезок, соединяющий вершину $A$ с серединой $BC$, в постоянном отношении 2 : 1, и, следовательно, эта точка также будет двигаться с постоянной скоростью по некоторой прямой. B предельном случае получаем точку $M_0$, которая делит отрезок $AC_0$ (равный и параллельный $BC$, но проходящий через вершину $A$) в отношении 1 : 2, поскольку она должна делить в отношении 2 : 1 отрезок, соединяющий точку $A$ и середину $AC_0$.
Можно рассуждать иначе: проведём через точку $A_1$ (середину $BC$) перпендикуляр к данным прямым и с концами на этих прямых. Получим пару равных треугольников с общей вершиной в $A_1$. Отсюда следует, что середины будут лежать на прямой $m_1$ равноотстоящей от данных прямых. Затем проведём перпендикуляр через $M$ с концами на $p_1$ и $m$. Получим пару подобных треугольников с общей вершиной $M$, причём коэффициент подобия равен 2. Значит, центры тяжести лежат на прямой, параллельной $p_1$ и $m$, эта прямая делит общий перпендикуляр в отношении 2 : 1 (рис.).
Наконец, так как серединные перпендикуляры к отрезкам $AC$ и $BC$ движутся также с постоянными скоростями, то и точка их пересечения (центр описанной окружности) будет перемещаться по прямой. Можно также заметить, что эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AK$, симметричному отрезку $AC_0$ (в который вырождается треугольник при совпадении точек $A$ и $B$) относительно перпендикуляра из точки $A$ к $p_2$.
Как известно, если около трапеции можно описать окружность, то она равнобокая. Отсюда сразу следует, что все окружности, описанные около треугольников $ABC$, будут вторично пересекать прямую $p_2$ в одной и той же точке $K$, так что $AK$ = $BC$. Поэтому центры этих окружностей должны быть равноудалены от точек $A$ и $K$ (рис.). Эти рассуждения дают нам также ещё один способ доказательства того, что искомое ГМT есть прямая (с выколотой точкой).
Имеются две параллельные прямые $p_1$ и $p_2$. Tочки $A$ и $B$ лежат на $p_1$, а $C$ на $p_2$. Будем перемещать отрезок $BC$ параллельно самому себе и рассмотрим все треугольники $ABC$, полученные таким образом. Найдите геометрическое место точек, являющихся в этих треугольниках: а) точками пересечения высот; б) точками пересечения медиан; в) центрами описанных окружностей.
Решение:
Получится прямая с выколотой точкой, которая соответствует случаю, когда треугольник вырождается в отрезок (рис.).
B первом случае, очевидно, имеем прямую, перпендикулярную $BC$ и проходящую через вершину $A$. Bо втором случае ответом будет прямая, параллельная данным прямым и делящая отрезок с концами на этих прямых в отношении 1 : 2, считая от первой прямой. B самом деле, если отрезок $BC$ движется с постоянной скоростью, значит, и его середина движется с постоянной скоростью. Tочка пересечения медиан делит отрезок, соединяющий вершину $A$ с серединой $BC$, в постоянном отношении 2 : 1, и, следовательно, эта точка также будет двигаться с постоянной скоростью по некоторой прямой. B предельном случае получаем точку $M_0$, которая делит отрезок $AC_0$ (равный и параллельный $BC$, но проходящий через вершину $A$) в отношении 1 : 2, поскольку она должна делить в отношении 2 : 1 отрезок, соединяющий точку $A$ и середину $AC_0$.
Можно рассуждать иначе: проведём через точку $A_1$ (середину $BC$) перпендикуляр к данным прямым и с концами на этих прямых. Получим пару равных треугольников с общей вершиной в $A_1$. Отсюда следует, что середины будут лежать на прямой $m_1$ равноотстоящей от данных прямых. Затем проведём перпендикуляр через $M$ с концами на $p_1$ и $m$. Получим пару подобных треугольников с общей вершиной $M$, причём коэффициент подобия равен 2. Значит, центры тяжести лежат на прямой, параллельной $p_1$ и $m$, эта прямая делит общий перпендикуляр в отношении 2 : 1 (рис.).
Наконец, так как серединные перпендикуляры к отрезкам $AC$ и $BC$ движутся также с постоянными скоростями, то и точка их пересечения (центр описанной окружности) будет перемещаться по прямой. Можно также заметить, что эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AK$, симметричному отрезку $AC_0$ (в который вырождается треугольник при совпадении точек $A$ и $B$) относительно перпендикуляра из точки $A$ к $p_2$.
Как известно, если около трапеции можно описать окружность, то она равнобокая. Отсюда сразу следует, что все окружности, описанные около треугольников $ABC$, будут вторично пересекать прямую $p_2$ в одной и той же точке $K$, так что $AK$ = $BC$. Поэтому центры этих окружностей должны быть равноудалены от точек $A$ и $K$ (рис.). Эти рассуждения дают нам также ещё один способ доказательства того, что искомое ГМT есть прямая (с выколотой точкой).
