Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2074
2019-02-08 
При каком наименьшем $n$ существует выпуклый $n$- угольник, у которого синусы всех углов равны, а длины всех сторон различны?
Решение:
Наименьшее значение равно пяти. Очевидно, треугольников с таким свойством не существует. Покажем, что не существует и четырёхугольников. Cделать это можно по-разному. Например, так как синусы углов равны, то сами углы четырёхугольника равны либо , либо $180^{\circ} - \varphi$. Простым перебором легко убедиться в том, что в этом случае мы имеем дело либо с прямоугольником, либо с параллелограммом, либо с равнобокой трапецией. Или же можно для доказательства использовать «метод площадей». Рассмотрим выпуклый четырёхугольник, синусы всех углов которого равны и обозначим длины его сторон буквами $a, b, c, d$. Вычислим его площадь как сумму площадей двух треугольников с общей диагональю по формуле «половина произведения сторон на синус угла между ними» двумя способами, затем в полученном равенстве сократим на половину синуса и придём к соотношению $ab + cd = ad + bc$ или $(a - c)(b - d) = 0$. Отсюда вытекает равенство, по крайней мере, одной пары сторон. Чтобы построить пятиугольник, обладающий искомыми свойствами, достаточно отрезать у равнобокой трапеции с углом $60^{\circ}$ при большем основании «уголок» (рис.).
Или иначе. Рассмотрим правильный пятиугольник с углами $108^{\circ}$ и с его помощью построим пятиугольник, все стороны которого соответственно параллельны сторонам правильного пятиугольника, но не равны между собой (рис.).
При каком наименьшем $n$ существует выпуклый $n$- угольник, у которого синусы всех углов равны, а длины всех сторон различны?
Решение:
Наименьшее значение равно пяти. Очевидно, треугольников с таким свойством не существует. Покажем, что не существует и четырёхугольников. Cделать это можно по-разному. Например, так как синусы углов равны, то сами углы четырёхугольника равны либо , либо $180^{\circ} - \varphi$. Простым перебором легко убедиться в том, что в этом случае мы имеем дело либо с прямоугольником, либо с параллелограммом, либо с равнобокой трапецией. Или же можно для доказательства использовать «метод площадей». Рассмотрим выпуклый четырёхугольник, синусы всех углов которого равны и обозначим длины его сторон буквами $a, b, c, d$. Вычислим его площадь как сумму площадей двух треугольников с общей диагональю по формуле «половина произведения сторон на синус угла между ними» двумя способами, затем в полученном равенстве сократим на половину синуса и придём к соотношению $ab + cd = ad + bc$ или $(a - c)(b - d) = 0$. Отсюда вытекает равенство, по крайней мере, одной пары сторон. Чтобы построить пятиугольник, обладающий искомыми свойствами, достаточно отрезать у равнобокой трапеции с углом $60^{\circ}$ при большем основании «уголок» (рис.).
Или иначе. Рассмотрим правильный пятиугольник с углами $108^{\circ}$ и с его помощью построим пятиугольник, все стороны которого соответственно параллельны сторонам правильного пятиугольника, но не равны между собой (рис.).
