Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2073
2019-02-08 
Дана окружность и точка $K$ внутри неё. Произвольная окружность, равная данной и проходящая через точку $K$, имеет с данной окружностью общую хорду. Найдите геометрическое место середин этих хорд (ГМT).
Решение:
Искомым геометрическим местом будет окружность с центром в середине $OK$ (где $O$ - центр исходной окружности) и радиусом $R/2$ (где $R$ - радиус данной окружности).
Первый способ. Действительно, пусть $PQ$ - общая хорда, $M$ - её середина, а $O_1$ - центр выбранной произвольно окружности. Поскольку из условия следует, что $OPO_1Q$ является ромбом, то $M$ будет также серединой $OO_1$. Средняя линия $MM_1$ треугольника $OKO_1$ равна половине $KO_1$, т. е. половине радиуса. Таким образом, все середины хорд лежат на окружности с центром в середине $OK$ и радиусом $R/2$ (рис.).
Несложно также проверить, что любая точка этой окружности является серединой некоторой хорды.
Второй способ. Центры окружностей, равных данной и проходящих через точку $K$, лежат на окружности с центром в точке $K$ радиуса $R$. Если $O_1$ - центр одной из таких окружностей, то, как уже было замечено, $M$ - середина общей хорды - будет также серединой $OO_1$. Поэтому искомое ГМT есть образ окружности, образованной центрами, при гомотетии с центром в точке $O$ и коэффициентом 1/2 (рис.).
Дана окружность и точка $K$ внутри неё. Произвольная окружность, равная данной и проходящая через точку $K$, имеет с данной окружностью общую хорду. Найдите геометрическое место середин этих хорд (ГМT).
Решение:
Искомым геометрическим местом будет окружность с центром в середине $OK$ (где $O$ - центр исходной окружности) и радиусом $R/2$ (где $R$ - радиус данной окружности).
Первый способ. Действительно, пусть $PQ$ - общая хорда, $M$ - её середина, а $O_1$ - центр выбранной произвольно окружности. Поскольку из условия следует, что $OPO_1Q$ является ромбом, то $M$ будет также серединой $OO_1$. Средняя линия $MM_1$ треугольника $OKO_1$ равна половине $KO_1$, т. е. половине радиуса. Таким образом, все середины хорд лежат на окружности с центром в середине $OK$ и радиусом $R/2$ (рис.).
Несложно также проверить, что любая точка этой окружности является серединой некоторой хорды.
Второй способ. Центры окружностей, равных данной и проходящих через точку $K$, лежат на окружности с центром в точке $K$ радиуса $R$. Если $O_1$ - центр одной из таких окружностей, то, как уже было замечено, $M$ - середина общей хорды - будет также серединой $OO_1$. Поэтому искомое ГМT есть образ окружности, образованной центрами, при гомотетии с центром в точке $O$ и коэффициентом 1/2 (рис.).
