Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2071
2019-02-08 
Хорды $AC$ и $BD$ окружности пересекаются в точке $P$. Перпендикуляры к $AC$ и $BD$ в точках $C$ и $D$, соответственно, пересекаются в точке $Q$. Докажите, что прямые $AB$ и $PQ$ перпендикулярны.
Решение:
Пусть перпендикуляры пересекаются внутри окружности (случай внешней точки рассматривается аналогично). Отметим точку $R$ - вторую точку пересечения прямой $DQ$ с окружностью (рис.).
Четырёхугольник $PDCQ$ вписан в окружность (он образован двумя прямоугольными треугольниками с общей гипотенузой $PQ$), поэтому углы $CDQ$ и $CPQ$ равны как опирающиеся на одну дугу. По этой же причине $\angle CDQ = \angle CAR$, и, значит, прямые $PQ$ и $AR$ параллельны (соответственные углы равны). Но $BR$ является диаметром, как следует из перпендикулярности $BD$ и $DQ$, поэтому $\angle BAR = 90^{\circ}$.
Хорды $AC$ и $BD$ окружности пересекаются в точке $P$. Перпендикуляры к $AC$ и $BD$ в точках $C$ и $D$, соответственно, пересекаются в точке $Q$. Докажите, что прямые $AB$ и $PQ$ перпендикулярны.
Решение:
Пусть перпендикуляры пересекаются внутри окружности (случай внешней точки рассматривается аналогично). Отметим точку $R$ - вторую точку пересечения прямой $DQ$ с окружностью (рис.).
Четырёхугольник $PDCQ$ вписан в окружность (он образован двумя прямоугольными треугольниками с общей гипотенузой $PQ$), поэтому углы $CDQ$ и $CPQ$ равны как опирающиеся на одну дугу. По этой же причине $\angle CDQ = \angle CAR$, и, значит, прямые $PQ$ и $AR$ параллельны (соответственные углы равны). Но $BR$ является диаметром, как следует из перпендикулярности $BD$ и $DQ$, поэтому $\angle BAR = 90^{\circ}$.
