Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 207
2014-06-07 
Две окружности касаются друг друга в точке Р. Прямая, касающаяся одной из них в точке А, пересекает другую в точках В и С. Доказать, что прямая РА является биссектрисой угла ВРС или смежного с ним.
Решение:
Рис.1
Рис.2
Рассмотрим гомотетию с центром Р, при которой окружность, содержащая точки В и С, переходит в другую окружность. При этой гомотетии точки $B$ и $C$ переходят в некоторые точки $B^{\prime}$ и $C^{\prime}$ лежащие на прямых $BP$ и $CP$ соответственно, а прямая $BC$ - в параллельную ей прямую $B^{\prime}C^{\prime}$. Следовательно, дуги $B^{\prime}A$ и $C^{\prime}A$ равны, а значит, вписанные углы $B^{\prime}PA$ и $C^{\prime}PA$ либо равны (в случае внутреннего касания, изображенного на рис.1), либо составляют в сумме $180^{\circ}$ (в случае внешнего касания, изображенного на рис.2), т. е. равными являются углы $BPA$ и $BPC^{\prime}$. В обоих случаях прямая $PA$ является биссектрисой одного из углов $BPA$ или $BPC^{\prime}$.
Две окружности касаются друг друга в точке Р. Прямая, касающаяся одной из них в точке А, пересекает другую в точках В и С. Доказать, что прямая РА является биссектрисой угла ВРС или смежного с ним.
Решение:
Рис.1
Рис.2
Рассмотрим гомотетию с центром Р, при которой окружность, содержащая точки В и С, переходит в другую окружность. При этой гомотетии точки $B$ и $C$ переходят в некоторые точки $B^{\prime}$ и $C^{\prime}$ лежащие на прямых $BP$ и $CP$ соответственно, а прямая $BC$ - в параллельную ей прямую $B^{\prime}C^{\prime}$. Следовательно, дуги $B^{\prime}A$ и $C^{\prime}A$ равны, а значит, вписанные углы $B^{\prime}PA$ и $C^{\prime}PA$ либо равны (в случае внутреннего касания, изображенного на рис.1), либо составляют в сумме $180^{\circ}$ (в случае внешнего касания, изображенного на рис.2), т. е. равными являются углы $BPA$ и $BPC^{\prime}$. В обоих случаях прямая $PA$ является биссектрисой одного из углов $BPA$ или $BPC^{\prime}$.
