Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2069
2019-01-23 
Известно, что многочлен ${(x + 1)}^n - 1$ делится на некоторый многочлен $P(x) = x^k + c_{k-1}x^{k-1} + c_{k-2}x^{k-2}+ \cdots + c_1x + c_0$ четной степени $k$, у которого все коэффициенты $с_0, c_1, \cdots, c_{k-1}$ - целые нечетные числа. Докажите, что $n$ делится на $k + 1$.
Решение:
Перепишем условие задачи в виде равенства $(x + 1)^n - 1 = P(x)Q(x)$, где $P(x)$ - многочлен с нечетными коэффициентами.
Будем называть два многочлена $f(x)$ и $g(x)$ похожими и обозначать $f(x) = g(x)$, если коэффициенты при одинаковых степенях у многочленов $f(x)$ и $g(x)$ имеют одинаковую четность. Тогда, если в верном равенстве мы заменим некоторые коэффициенты одного или нескольких многочленов на их остатки по модулю 2, то мы получим два похожих многочлена. Следовательно,
$(x +1)^n - 1 = (x^k + x^{k-1} + \cdots + 1)Q(x)$. (1)
Заменив в последнем равенстве переменную $x$ на $\frac{1}{x}$ и домножив обе части на $x^n$, получаем
$(x + 1)^n - x^n \equiv (x^k + x^{k-1} + \cdots + 1)x^{n-k}Q(\frac{1}{x})$. (2)
При этом $x^{n-1}Q \left (\frac{1}{x} \right )$ - это некоторый многочлен степени, не превосходящей $n - k$, от переменной $x$. Вычитая из (1) формулу (2), имеем
$x^n - 1 = (x^k + x^{k-1} + \cdots + 1)R(x)$,
для некоторого многочлена $R(x)$. Пусть $n$ не делится на $k + 1$, тогда $n = q(k +1)+ r, 0 < r < k + 1$. Тогда многочлен $x^n - x^r = x^r(x^{q(k+1)} - 1)$ делится на $x^{k+1} - 1 = (x^k + \cdots + 1)(x - 1)$, а значит, $x^r - 1 = (x^n - 1) - (x^n - x^r) = (x^k + \cdots + 1)R_1(x)$ для некоторого многочлена $R_1(x)$. Это невозможно, ибо степень многочлена $x^r - 1$ не больше степени многочлена $x^k + \cdots + 1$, и они непохожи.
Известно, что многочлен ${(x + 1)}^n - 1$ делится на некоторый многочлен $P(x) = x^k + c_{k-1}x^{k-1} + c_{k-2}x^{k-2}+ \cdots + c_1x + c_0$ четной степени $k$, у которого все коэффициенты $с_0, c_1, \cdots, c_{k-1}$ - целые нечетные числа. Докажите, что $n$ делится на $k + 1$.
Решение:
Перепишем условие задачи в виде равенства $(x + 1)^n - 1 = P(x)Q(x)$, где $P(x)$ - многочлен с нечетными коэффициентами.
Будем называть два многочлена $f(x)$ и $g(x)$ похожими и обозначать $f(x) = g(x)$, если коэффициенты при одинаковых степенях у многочленов $f(x)$ и $g(x)$ имеют одинаковую четность. Тогда, если в верном равенстве мы заменим некоторые коэффициенты одного или нескольких многочленов на их остатки по модулю 2, то мы получим два похожих многочлена. Следовательно,
$(x +1)^n - 1 = (x^k + x^{k-1} + \cdots + 1)Q(x)$. (1)
Заменив в последнем равенстве переменную $x$ на $\frac{1}{x}$ и домножив обе части на $x^n$, получаем
$(x + 1)^n - x^n \equiv (x^k + x^{k-1} + \cdots + 1)x^{n-k}Q(\frac{1}{x})$. (2)
При этом $x^{n-1}Q \left (\frac{1}{x} \right )$ - это некоторый многочлен степени, не превосходящей $n - k$, от переменной $x$. Вычитая из (1) формулу (2), имеем
$x^n - 1 = (x^k + x^{k-1} + \cdots + 1)R(x)$,
для некоторого многочлена $R(x)$. Пусть $n$ не делится на $k + 1$, тогда $n = q(k +1)+ r, 0 < r < k + 1$. Тогда многочлен $x^n - x^r = x^r(x^{q(k+1)} - 1)$ делится на $x^{k+1} - 1 = (x^k + \cdots + 1)(x - 1)$, а значит, $x^r - 1 = (x^n - 1) - (x^n - x^r) = (x^k + \cdots + 1)R_1(x)$ для некоторого многочлена $R_1(x)$. Это невозможно, ибо степень многочлена $x^r - 1$ не больше степени многочлена $x^k + \cdots + 1$, и они непохожи.
