Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2067
2019-01-23 
Последовательности положительных чисел $(x_n)$ и $(y_n)$ удовлетворяют условиям $x_{n+2} = x_n + x_{n+1}^{2}, y_{n+2} = y_{n}^{2} + y_{n+1}$ при всех натуральных $n$. Докажите, что если все числа $x_1, x_2, y_1, y_2$ больше 1, то $x_n > y_n$ при каком-нибудь натуральном $n$.
Решение:
Очевидно, начиная со второго члена, наши последовательности возрастают: $x_{n+2} > x^2_{n+1} > x_{n+1}, y_{n+2} > y_{n+1}$. Так как $x_3 > 1 + 1^2 = 2, y^3 > 1^2 + 1 = 2$, все члены каждой из последовательностей, начиная с третьего, больше 2. Аналогично при $n > 3$ получим $x_n > 3, y_n > 3$.
Заметим теперь, что $x_{n+2} > x_{n+1}^2 > x_n^4$ при $n > 1$. С другой стороны, $y_{n+2} = у_n^2 + y_{n+1} = у_n^2 + y_n + y_{n-1}^2 < 3y_n^2 < y_n^3$ при $n > 3$.
Итак, при $n > 3$ имеем: $\frac{lg x_{n +2}}{lg y_{n +2}} > \frac{4lg x_n}{3lg y_n}$, а $\frac{lg x_{2k}}{lg y_{2k}} > (\frac{4}{3})^{k-1} \cdot \frac{lg x_2}{lg y_2}$.
При достаточно большом $к$ правая часть последнего неравенства больше 1, а значит, $x_{2k} > y_{2k}$, что и требовалось доказать.
Последовательности положительных чисел $(x_n)$ и $(y_n)$ удовлетворяют условиям $x_{n+2} = x_n + x_{n+1}^{2}, y_{n+2} = y_{n}^{2} + y_{n+1}$ при всех натуральных $n$. Докажите, что если все числа $x_1, x_2, y_1, y_2$ больше 1, то $x_n > y_n$ при каком-нибудь натуральном $n$.
Решение:
Очевидно, начиная со второго члена, наши последовательности возрастают: $x_{n+2} > x^2_{n+1} > x_{n+1}, y_{n+2} > y_{n+1}$. Так как $x_3 > 1 + 1^2 = 2, y^3 > 1^2 + 1 = 2$, все члены каждой из последовательностей, начиная с третьего, больше 2. Аналогично при $n > 3$ получим $x_n > 3, y_n > 3$.
Заметим теперь, что $x_{n+2} > x_{n+1}^2 > x_n^4$ при $n > 1$. С другой стороны, $y_{n+2} = у_n^2 + y_{n+1} = у_n^2 + y_n + y_{n-1}^2 < 3y_n^2 < y_n^3$ при $n > 3$.
Итак, при $n > 3$ имеем: $\frac{lg x_{n +2}}{lg y_{n +2}} > \frac{4lg x_n}{3lg y_n}$, а $\frac{lg x_{2k}}{lg y_{2k}} > (\frac{4}{3})^{k-1} \cdot \frac{lg x_2}{lg y_2}$.
При достаточно большом $к$ правая часть последнего неравенства больше 1, а значит, $x_{2k} > y_{2k}$, что и требовалось доказать.
