Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2066
2019-01-23 
Биссектрисы $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$ . Прямая $B_1C_1$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $M$ и $N$. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника $MIN$ вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника $ABC$.
Решение:
Пусть биссектрисы $AI, BI, CI$ пересекают описанную окружность в точках $A_0, B_0$ и $C_0$ соответственно. Точки $B_0$ и $C_0$ являются соответственно серединами дуг $AC$ и $AB$. Проведем через $A$ прямую, параллельную $B_0C_0$, пересекающую биссектрисы в точках $I_B$ и $I_C$ (см. рис.). Имеем $\angle AIB_0 = \angle ABI + \angle BAI = \angle ABB_0 + \angle BAA_0 = \angle B_0BC + \angle CAA_0 = \angle B_0AI$, поэтому треугольник $B_0AI$ равнобедренный ($B_0A = BI$). Аналогично, $C_0A = CI$, поэтому треугольники $B_0AC_0$ и $B_0IC_0$ равны. Далее, отрезок $B_0C_0$ является серединным перпендикуляром к $AI,$ а $AI$ - высота в треугольнике $II_BI_C$. Отсюда следует, что $B_0C_0$ - средняя линия треугольника $I_BII_C$. Получаем следующие равенства для радиусов описанных окружностей: $R(I_BII_C) = 2R(B_0IC_0) = 2R(B_0AC_0) = 2R(ABC)$.
Теперь достаточно доказать, что точки $M$ и $N$ лежат на описанной окружности треугольника $I_BII_C$. Заметим, что $\angle AI_BI = \angle C_0B_0I = \angle C_0B_0A = \angle C_0CA = \angle ICA$, значит точки $A,I,C,I_B$ лежат на одной окружности, отсюда $B_1A \cdot B_1C = B_1I \cdot B_1I_B$. С другой стороны, $B_1A \cdot B_1C = B_1M \cdot B_1N$, так как точки $A, M, C, N$ лежат на одной окружности. Следовательно, $B_1M \cdot B_1N = B_1I \cdot B_1I_B$, и точка $I_B$ лежит на описанной окружности треугольника $IMN$. Аналогично, на ней лежит точка $I_C$, что и требовалось.
Биссектрисы $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$ . Прямая $B_1C_1$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $M$ и $N$. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника $MIN$ вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника $ABC$.
Решение:
Пусть биссектрисы $AI, BI, CI$ пересекают описанную окружность в точках $A_0, B_0$ и $C_0$ соответственно. Точки $B_0$ и $C_0$ являются соответственно серединами дуг $AC$ и $AB$. Проведем через $A$ прямую, параллельную $B_0C_0$, пересекающую биссектрисы в точках $I_B$ и $I_C$ (см. рис.). Имеем $\angle AIB_0 = \angle ABI + \angle BAI = \angle ABB_0 + \angle BAA_0 = \angle B_0BC + \angle CAA_0 = \angle B_0AI$, поэтому треугольник $B_0AI$ равнобедренный ($B_0A = BI$). Аналогично, $C_0A = CI$, поэтому треугольники $B_0AC_0$ и $B_0IC_0$ равны. Далее, отрезок $B_0C_0$ является серединным перпендикуляром к $AI,$ а $AI$ - высота в треугольнике $II_BI_C$. Отсюда следует, что $B_0C_0$ - средняя линия треугольника $I_BII_C$. Получаем следующие равенства для радиусов описанных окружностей: $R(I_BII_C) = 2R(B_0IC_0) = 2R(B_0AC_0) = 2R(ABC)$.
Теперь достаточно доказать, что точки $M$ и $N$ лежат на описанной окружности треугольника $I_BII_C$. Заметим, что $\angle AI_BI = \angle C_0B_0I = \angle C_0B_0A = \angle C_0CA = \angle ICA$, значит точки $A,I,C,I_B$ лежат на одной окружности, отсюда $B_1A \cdot B_1C = B_1I \cdot B_1I_B$. С другой стороны, $B_1A \cdot B_1C = B_1M \cdot B_1N$, так как точки $A, M, C, N$ лежат на одной окружности. Следовательно, $B_1M \cdot B_1N = B_1I \cdot B_1I_B$, и точка $I_B$ лежит на описанной окружности треугольника $IMN$. Аналогично, на ней лежит точка $I_C$, что и требовалось.
