Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2064
2019-01-23 
Сумма и произведение двух чисто периодических десятичных дробей - чисто периодические дроби с периодом $T$. Докажите, что исходные дроби имеют периоды не больше $T$.
Решение:
Заметим, что чисто периодическая дробь с периодом $T$ после домножения на $10^T - 1$ становится целым числом. Домножим наши две дроби $а$ и $b$ на число $10^T - 1 = \underset{T}{ \underbrace{99 \cdots 9}}$. Получатся два новых рациональных числа $A = (10^T - 1) a$ и $B = (10^T - 1)b$. Числа $A + B = (10^T - 1)(а + b)$ и $AB = (10^T - 1)^2ab$ целые, так как $a + b$ и $ab$ - дроби с периодом $T$, становящиеся целыми при домножении на $10^T - 1$ и тем более на $(10^T - 1)^2$. Но два рациональных числа, сумма и произведение которых целые, являются корнями приведенного квадратного уравнения с целыми коэффициентами, т. е. сами являются целыми числами. Значит, $а$ и $b$ могут быть записаны в виде обыкновенных дробей со знаменателем $10^T - 1$, откуда и следует утверждение задачи.
Сумма и произведение двух чисто периодических десятичных дробей - чисто периодические дроби с периодом $T$. Докажите, что исходные дроби имеют периоды не больше $T$.
Решение:
Заметим, что чисто периодическая дробь с периодом $T$ после домножения на $10^T - 1$ становится целым числом. Домножим наши две дроби $а$ и $b$ на число $10^T - 1 = \underset{T}{ \underbrace{99 \cdots 9}}$. Получатся два новых рациональных числа $A = (10^T - 1) a$ и $B = (10^T - 1)b$. Числа $A + B = (10^T - 1)(а + b)$ и $AB = (10^T - 1)^2ab$ целые, так как $a + b$ и $ab$ - дроби с периодом $T$, становящиеся целыми при домножении на $10^T - 1$ и тем более на $(10^T - 1)^2$. Но два рациональных числа, сумма и произведение которых целые, являются корнями приведенного квадратного уравнения с целыми коэффициентами, т. е. сами являются целыми числами. Значит, $а$ и $b$ могут быть записаны в виде обыкновенных дробей со знаменателем $10^T - 1$, откуда и следует утверждение задачи.
