Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2063
2019-01-23 
Докажите, что $\sin \sqrt{х} < \sqrt{ \sin x}$ при $0 < x < \frac{ \pi}{2}$
Решение:
При $x \geq 1$ имеем $1 \leq \sqrt{x} \leq x < \frac{\pi}{2}$. Отсюда $\sin \sqrt{x} \leq \sin x$. Далее, поскольку $0 < \sin x < 1,$ имеем $\sin x < \sqrt{x}$. Пусть $0 < x < 1$. Перепишем неравенство: $\sin^2t < \sin(t^2)$ при $0 < t < 1$. Так как $\sin^2 0 = \sin(0^2)$, то достаточно доказать $(\sin^2t)^{\prime} < (\sin(t^2))^{\prime},$ или $2 \sin t \cos t < 2t \cos(t^2)$. Поскольку $\frac{\pi}{2} > t > t^2 > 0,$ то $\cos t < cos(t^2)$. Перемножив это неравенство и $\sin t < t$, получим $\sin t \cos t < t \cos(t^2)$.
Докажите, что $\sin \sqrt{х} < \sqrt{ \sin x}$ при $0 < x < \frac{ \pi}{2}$
Решение:
При $x \geq 1$ имеем $1 \leq \sqrt{x} \leq x < \frac{\pi}{2}$. Отсюда $\sin \sqrt{x} \leq \sin x$. Далее, поскольку $0 < \sin x < 1,$ имеем $\sin x < \sqrt{x}$. Пусть $0 < x < 1$. Перепишем неравенство: $\sin^2t < \sin(t^2)$ при $0 < t < 1$. Так как $\sin^2 0 = \sin(0^2)$, то достаточно доказать $(\sin^2t)^{\prime} < (\sin(t^2))^{\prime},$ или $2 \sin t \cos t < 2t \cos(t^2)$. Поскольку $\frac{\pi}{2} > t > t^2 > 0,$ то $\cos t < cos(t^2)$. Перемножив это неравенство и $\sin t < t$, получим $\sin t \cos t < t \cos(t^2)$.
