Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2061
2019-01-23 
На дугах $AB$ и $BC$ окружности, описанной около треугольника $ABC$, выбраны соответственно точки $K$ и $L$ так, что прямые $KL$ и $AC$ параллельны. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников $ABK$ и $CBL$ равноудалены от середины дуги $ABC$.
Решение:
Если $AB = BC$, то утверждение задачи очевидно. Пусть для определенности $AB < BC$ (см. рис.). Обозначим через $I_1, I_2$ центры вписанных окружностей треугольников $AKB$ и $CLB$ соответственно, через $P, Q$ - вторые точки пересечения прямых $BI_1, BI_2$ с описанной окружностью треугольника $ABC$, а через $R$ - середину дуги $ABC$ этой окружности. Тогда $PA = QC$ как хорды, стягивающие половины равных дуг. Так как $\angle PAI_1 = \angle PAK + \angle KAI_1 = \angle PBK + \angle BAI_1 = \angle ABI_1 + \angle BAI_1 = \angle AI_1P$, то треугольник $AI_1P$ равнобедренный, и $PA = PI_1$. Аналогично $QC = QI_2$; следовательно, $PI_1 = QI_2$. Далее, $PR = QR$ как хорды, стягивающие равные дуги, а $\angle I_2QR = \angle I_1PR$ как углы, опирающиеся на одну дугу. Тогда треугольники $RI_1P$ и $RI_2Q$ равны по двум сторонам и углу между ними, откуда и следует утверждение задачи.
На дугах $AB$ и $BC$ окружности, описанной около треугольника $ABC$, выбраны соответственно точки $K$ и $L$ так, что прямые $KL$ и $AC$ параллельны. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников $ABK$ и $CBL$ равноудалены от середины дуги $ABC$.
Решение:
Если $AB = BC$, то утверждение задачи очевидно. Пусть для определенности $AB < BC$ (см. рис.). Обозначим через $I_1, I_2$ центры вписанных окружностей треугольников $AKB$ и $CLB$ соответственно, через $P, Q$ - вторые точки пересечения прямых $BI_1, BI_2$ с описанной окружностью треугольника $ABC$, а через $R$ - середину дуги $ABC$ этой окружности. Тогда $PA = QC$ как хорды, стягивающие половины равных дуг. Так как $\angle PAI_1 = \angle PAK + \angle KAI_1 = \angle PBK + \angle BAI_1 = \angle ABI_1 + \angle BAI_1 = \angle AI_1P$, то треугольник $AI_1P$ равнобедренный, и $PA = PI_1$. Аналогично $QC = QI_2$; следовательно, $PI_1 = QI_2$. Далее, $PR = QR$ как хорды, стягивающие равные дуги, а $\angle I_2QR = \angle I_1PR$ как углы, опирающиеся на одну дугу. Тогда треугольники $RI_1P$ и $RI_2Q$ равны по двум сторонам и углу между ними, откуда и следует утверждение задачи.
