Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2060
2019-01-23 
Окружность $w$ касается равных сторон $AB$ и $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ и пересекает сторону $BC$ в точках $K$ и $L$. Отрезок $AK$ пересекает $w$ второй раз в точке $M$. Точки $P$ и $Q$ симметричны точке $K$ относительно точек $B$ и $C$ соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника $PMQ$ касается окружности $w$.
Решение:
Обозначим через $D$ и $E$ точки касания $\omega$ со сторонами $AB$ и $AC, DE \parallel BC$ из симметрии относительно биссектрисы угла $BAC$ (см. рис.). Пусть при гомотетии с центром $А$ и коэффициентом окружность $\omega$ переходит в окружность $\omega^{\prime}$. Окружность $\omega^{\prime}$ проходит через точку $K$, а следовательно, и через $L$ (из симметрии относительно биссектрисы угла $BAC$), а также $\omega^{\prime}$ касается лучей $AB$ и $AC$ в некоторых точках $D^{\prime}$ и $E^{\prime}$.
Из гомотетии следует, что $MD \parallel KD^{\prime}$. Далее, по теореме о произведении отрезков касательных $BD^2 = BK \cdot BL = BD^{\prime 2},$ откуда $BD = BD^{\prime}$. По построению $BK = BP$, поэтому $DKD^{\prime}P$ - параллелограмм, и значит, $PD \parallel KD^{\prime}$. Отсюда вытекает, что точки $M, D, P$ лежат на одной прямой. Аналогично, $M, E$ и $Q$ лежат на одной прямой. Треугольники $MDE$ и $MPQ$ гомотетичны с центром $M$, следовательно, их описанные окружности также гомотетичны, т. е. касаются в точке $M$.
Окружность $w$ касается равных сторон $AB$ и $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ и пересекает сторону $BC$ в точках $K$ и $L$. Отрезок $AK$ пересекает $w$ второй раз в точке $M$. Точки $P$ и $Q$ симметричны точке $K$ относительно точек $B$ и $C$ соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника $PMQ$ касается окружности $w$.
Решение:
Обозначим через $D$ и $E$ точки касания $\omega$ со сторонами $AB$ и $AC, DE \parallel BC$ из симметрии относительно биссектрисы угла $BAC$ (см. рис.). Пусть при гомотетии с центром $А$ и коэффициентом окружность $\omega$ переходит в окружность $\omega^{\prime}$. Окружность $\omega^{\prime}$ проходит через точку $K$, а следовательно, и через $L$ (из симметрии относительно биссектрисы угла $BAC$), а также $\omega^{\prime}$ касается лучей $AB$ и $AC$ в некоторых точках $D^{\prime}$ и $E^{\prime}$.
Из гомотетии следует, что $MD \parallel KD^{\prime}$. Далее, по теореме о произведении отрезков касательных $BD^2 = BK \cdot BL = BD^{\prime 2},$ откуда $BD = BD^{\prime}$. По построению $BK = BP$, поэтому $DKD^{\prime}P$ - параллелограмм, и значит, $PD \parallel KD^{\prime}$. Отсюда вытекает, что точки $M, D, P$ лежат на одной прямой. Аналогично, $M, E$ и $Q$ лежат на одной прямой. Треугольники $MDE$ и $MPQ$ гомотетичны с центром $M$, следовательно, их описанные окружности также гомотетичны, т. е. касаются в точке $M$.
