Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 206
2014-06-07 
Доказать, что для любого треугольника ABC существуют 3 окружности одинакового радиуса, одна из которых касается сторон АВ и ВС, другая - сторон ВС и АС, третья - сторон АС и АВ, а все 3 окружности имеют ровно одну общую точку.
Решение:
Пусть дан треугольник $ABC$. Построим подобный ему треугольник $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$, у для которого существуют указанные в задаче окружности (тогда существование соответствующих окружностей для исходного треугольника $ABC$ также будет доказано). Для этого проведем 3 окружности с центрами соответственно в точках А, В, С и радиусом, равным радиусу описанной около треугольника ABC окружности. Тогда эти окружности имеют единственную общую точку равноудаленную от вершин А, В, С). Три общие касательные к парам проведенных окружностей образуют искомый треугольник $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$, подобный треугольнику ABC (ибо $A^{\prime}B^{\prime} \parallel AB , B^{\prime}C^{\prime} \parallel BC, A^{\prime}C^{\prime} \parallel AC$
см. рис.).
Доказать, что для любого треугольника ABC существуют 3 окружности одинакового радиуса, одна из которых касается сторон АВ и ВС, другая - сторон ВС и АС, третья - сторон АС и АВ, а все 3 окружности имеют ровно одну общую точку.
Решение:
Пусть дан треугольник $ABC$. Построим подобный ему треугольник $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$, у для которого существуют указанные в задаче окружности (тогда существование соответствующих окружностей для исходного треугольника $ABC$ также будет доказано). Для этого проведем 3 окружности с центрами соответственно в точках А, В, С и радиусом, равным радиусу описанной около треугольника ABC окружности. Тогда эти окружности имеют единственную общую точку равноудаленную от вершин А, В, С). Три общие касательные к парам проведенных окружностей образуют искомый треугольник $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$, подобный треугольнику ABC (ибо $A^{\prime}B^{\prime} \parallel AB , B^{\prime}C^{\prime} \parallel BC, A^{\prime}C^{\prime} \parallel AC$
см. рис.).
