Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2059
2019-01-23 
Сумма кубов трех последовательных натуральных чисел оказалась кубом натурального числа. Докажите, что среднее из этих трех чисел делится на 4.
Решение:
В решении латинскими буквами везде обозначены натуральные числа.
По условию, $(x - 1)^3 + x^3 + (x + 1)^3 = у^3,$ или $3x(x^2 +2) = y^3$. Тогда $y$ делится на 3, $y = 3z$ и $x(x^2 + 2) = 9z^3$. Очевидно, $\:НОД(x, x^2 + 2) < 2$.
Докажем, что случай $\:НОД(x, x^2 +2) = 1$ невозможен. Действительно, в этом случае либо $x = 9u^3$ и $x^2 +2 = v^3,$ либо $x = u^3, x^2 +2 = 9v^3$ при некоторых натуральных $u, v$. В первом случае получаем $81u^6 + 2 = v^3$, что невозможно, так как куб целого числа при делении на 9 дает остаток 0 или $\pm 1$. Аналогично, второе равенство влечет, что $u^6 + 2 = 9v^3$, что невозможно по тем же причинам.
Итак, $\:НОД(x, x^2 + 2) = 2, x(x^2 +2) = 9z^3$. Тогда $x$ (и, следовательно, $z$) четно, поэтому $x(x^2 + 2)$ делится на 8. Поскольку $х^2 + 2$ не делится на 4, получаем, что $x$ делится на 4, что и требовалось.
Сумма кубов трех последовательных натуральных чисел оказалась кубом натурального числа. Докажите, что среднее из этих трех чисел делится на 4.
Решение:
В решении латинскими буквами везде обозначены натуральные числа.
По условию, $(x - 1)^3 + x^3 + (x + 1)^3 = у^3,$ или $3x(x^2 +2) = y^3$. Тогда $y$ делится на 3, $y = 3z$ и $x(x^2 + 2) = 9z^3$. Очевидно, $\:НОД(x, x^2 + 2) < 2$.
Докажем, что случай $\:НОД(x, x^2 +2) = 1$ невозможен. Действительно, в этом случае либо $x = 9u^3$ и $x^2 +2 = v^3,$ либо $x = u^3, x^2 +2 = 9v^3$ при некоторых натуральных $u, v$. В первом случае получаем $81u^6 + 2 = v^3$, что невозможно, так как куб целого числа при делении на 9 дает остаток 0 или $\pm 1$. Аналогично, второе равенство влечет, что $u^6 + 2 = 9v^3$, что невозможно по тем же причинам.
Итак, $\:НОД(x, x^2 + 2) = 2, x(x^2 +2) = 9z^3$. Тогда $x$ (и, следовательно, $z$) четно, поэтому $x(x^2 + 2)$ делится на 8. Поскольку $х^2 + 2$ не делится на 4, получаем, что $x$ делится на 4, что и требовалось.
