Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2058
2019-01-23 
Дан квадратный трехчлен $f(x) = x^2 + ax + b$. Уравнение $f(f(x)) = 0$ имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна -1. Докажите, что $b \leq - \frac {1}{4}$.
Решение:
Обозначим через $с_1$ и $с_2$ корни уравнения $f(x) = 0$, а через $х_1$ и $х_2$ - корни уравнения $f(f(х)) = 0$, сумма которых равна -1. Множество корней последнего уравнения совпадает с объединением множеств корней уравнений $f(x) = с_1$ и $f(x) = c_2$. Если $x_1$ и $x_2$ являются корнями одного из последних двух уравнений, то их сумма, равная -1, будет по теореме Виета равна и $-а$, откуда $а = 1$. Можно считать, что $c_1 \geq c_2$. Но поскольку по теореме Виета $с_1 + с_2 = - 1,$ то $с_2 \leq -\frac{1}{2}$. Из условия следует, что дискриминант уравнения $f(x) = с_2$ неотрицателен, поэтому $1 - 4b + 4c_2 \geq 0$, откуда $b \leq -\frac{1}{4}$.
В противном случае, не умаляя общности, можно записать, что $x_1^2 + ах_1 + b = c_1$ и $x_2^2 + ах_2^2 + b = c_2$. Складывая последние два равенства, получим: $x_1^2 + x_2^2 + а(x_1 + x_2) + 2_b = c_1 + c_2$. Поскольку $c_1 + с_2 = -а$ по теореме Виета, а $x_1 + x_2 = -1$ по условию, то последнее равенство после сокращения перепишется так: $x_1^2 + x_1^2 + 2b = 0$. Но тогда $b = - \frac{1}{2} (x_1^2 + x_2^2) \leq - \frac{1}{4} (x_1 + x_2)^2 = - \frac{1}{4}$.
Дан квадратный трехчлен $f(x) = x^2 + ax + b$. Уравнение $f(f(x)) = 0$ имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна -1. Докажите, что $b \leq - \frac {1}{4}$.
Решение:
Обозначим через $с_1$ и $с_2$ корни уравнения $f(x) = 0$, а через $х_1$ и $х_2$ - корни уравнения $f(f(х)) = 0$, сумма которых равна -1. Множество корней последнего уравнения совпадает с объединением множеств корней уравнений $f(x) = с_1$ и $f(x) = c_2$. Если $x_1$ и $x_2$ являются корнями одного из последних двух уравнений, то их сумма, равная -1, будет по теореме Виета равна и $-а$, откуда $а = 1$. Можно считать, что $c_1 \geq c_2$. Но поскольку по теореме Виета $с_1 + с_2 = - 1,$ то $с_2 \leq -\frac{1}{2}$. Из условия следует, что дискриминант уравнения $f(x) = с_2$ неотрицателен, поэтому $1 - 4b + 4c_2 \geq 0$, откуда $b \leq -\frac{1}{4}$.
В противном случае, не умаляя общности, можно записать, что $x_1^2 + ах_1 + b = c_1$ и $x_2^2 + ах_2^2 + b = c_2$. Складывая последние два равенства, получим: $x_1^2 + x_2^2 + а(x_1 + x_2) + 2_b = c_1 + c_2$. Поскольку $c_1 + с_2 = -а$ по теореме Виета, а $x_1 + x_2 = -1$ по условию, то последнее равенство после сокращения перепишется так: $x_1^2 + x_1^2 + 2b = 0$. Но тогда $b = - \frac{1}{2} (x_1^2 + x_2^2) \leq - \frac{1}{4} (x_1 + x_2)^2 = - \frac{1}{4}$.
