Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2056
2019-01-23 
На сторонах $AB, BC, CA$ треугольника $ABC$ выбраны точки $P, Q, R$ соответственно таким образом, что $AP = CQ$ и четырехугольник $RPBQ$ - вписанный. Касательные к описанной окружности треугольника $ABC$ в точках $A$ и $C$ пересекают прямые $RP$ и $RQ$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что $RX = RY$.
Решение:
Сначала заметим, что поскольку $\angle ARP < \angle ARP + \angle QRC = \angle ABC$, то точка $X$ лежит на луче $RP$ (иначе $\angle ARP = \pi - \angle ARX > \angle RAX = \angle ABC)$ (см. рис.). Тогда $\angle ACB = \angle XAB$ и $\angle APX = \angle RPB = \angle RQC$, и треугольники $APX$ и $CQR$ равны по стороне и двум углам. Следовательно, $PX = QR$. Аналогично, $PR = QY$, откуда и следует утверждение задачи.
На сторонах $AB, BC, CA$ треугольника $ABC$ выбраны точки $P, Q, R$ соответственно таким образом, что $AP = CQ$ и четырехугольник $RPBQ$ - вписанный. Касательные к описанной окружности треугольника $ABC$ в точках $A$ и $C$ пересекают прямые $RP$ и $RQ$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что $RX = RY$.
Решение:
Сначала заметим, что поскольку $\angle ARP < \angle ARP + \angle QRC = \angle ABC$, то точка $X$ лежит на луче $RP$ (иначе $\angle ARP = \pi - \angle ARX > \angle RAX = \angle ABC)$ (см. рис.). Тогда $\angle ACB = \angle XAB$ и $\angle APX = \angle RPB = \angle RQC$, и треугольники $APX$ и $CQR$ равны по стороне и двум углам. Следовательно, $PX = QR$. Аналогично, $PR = QY$, откуда и следует утверждение задачи.
