Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2055
2019-01-23 
Пусть $a_1, a_2, \cdots, a_{10}$ - натуральные числа, $a_1 < a_2 < \cdots < a_{10}$. Пусть $b_k$ - наибольший делитель $a_k$ такой, что $b_k < a_k$. Оказалось, что $b_1 > b_2 > \cdots > b_{10}$. Докажите, что $a_{10} > 500$.
Решение:
Заметим, что $b_k = \frac{a_k}{c_k},$ где $с_k$ - наименьший простой делитель $а_k$. Так как $b_9 > b_{10},$ то $b_9 > 1$ и $b_9 \geq c_9$. Отсюда $a_10 > a_9 \geq с_9^2$. Но из неравенств $a_i < a_{i+1}, b_i > b_{i+1}$ следует, что $c_1 < c_{i+1}$, т. е. $c_1 < с_2 < \cdots < c_{10}$. Значит, $c_9 \geq 23$, так как 23 - девятое по счету простое число. Поэтому $a_{10} > c_9^2 \geq 529 > 500$.
Пусть $a_1, a_2, \cdots, a_{10}$ - натуральные числа, $a_1 < a_2 < \cdots < a_{10}$. Пусть $b_k$ - наибольший делитель $a_k$ такой, что $b_k < a_k$. Оказалось, что $b_1 > b_2 > \cdots > b_{10}$. Докажите, что $a_{10} > 500$.
Решение:
Заметим, что $b_k = \frac{a_k}{c_k},$ где $с_k$ - наименьший простой делитель $а_k$. Так как $b_9 > b_{10},$ то $b_9 > 1$ и $b_9 \geq c_9$. Отсюда $a_10 > a_9 \geq с_9^2$. Но из неравенств $a_i < a_{i+1}, b_i > b_{i+1}$ следует, что $c_1 < c_{i+1}$, т. е. $c_1 < с_2 < \cdots < c_{10}$. Значит, $c_9 \geq 23$, так как 23 - девятое по счету простое число. Поэтому $a_{10} > c_9^2 \geq 529 > 500$.
