Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2054
2019-01-23 
Дан треугольник $ABC$. Окружность $\omega$ касается описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$, пересекает сторону $AB$ в точке $K$, а также пересекает сторону $BC$. Касательная $CL$ к окружности $\omega$ такова, что отрезок $KL$ пересекает сторону $BC$ в точке $T$. Докажите, что отрезок $BT$ равен по длине касательной из точки $B$ к $w$.
Решение:
Пусть $M$ - вторая точка пересечения $\omega$ со стороной $AC$. Докажем, что четырехугольник $ATLC$ - вписанный. Действительно, заметим, что при гомотетии с центром $A$, переводящей окружность $\omega$ в описанную окружность треугольника $ABC$, прямая $MK$ переходит в прямую $CB$, а следовательно, они параллельны (см. рис.). Тогда получаем, что $\angle AMK = \angle ACB = \angle ACT$, но из вписанности четырехугольника $AMLK$ имеем $\angle AMK = \angle ALK = \angle ALT$. Отсюда $\angle ACT = \angle ALT$, т. е. $ ATLC$ - вписанный. Следовательно, $\angle CTA = \angle CLA$, но по свойству касательной $\angle CLA = \angle LKA$, т. е. $ \angle CTA = \angle TKA$, и значит, $ \angle BTA = \angle BKT$. Тогда треугольники $BTA$ и $BKT$ подобны по двум углам, откуда $BT^2 = BK \cdot BA$. C другой стороны, произведение $BK \cdot BA$ равно квадрату касательной к $\omega$ из точки $B$.
Дан треугольник $ABC$. Окружность $\omega$ касается описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$, пересекает сторону $AB$ в точке $K$, а также пересекает сторону $BC$. Касательная $CL$ к окружности $\omega$ такова, что отрезок $KL$ пересекает сторону $BC$ в точке $T$. Докажите, что отрезок $BT$ равен по длине касательной из точки $B$ к $w$.
Решение:
Пусть $M$ - вторая точка пересечения $\omega$ со стороной $AC$. Докажем, что четырехугольник $ATLC$ - вписанный. Действительно, заметим, что при гомотетии с центром $A$, переводящей окружность $\omega$ в описанную окружность треугольника $ABC$, прямая $MK$ переходит в прямую $CB$, а следовательно, они параллельны (см. рис.). Тогда получаем, что $\angle AMK = \angle ACB = \angle ACT$, но из вписанности четырехугольника $AMLK$ имеем $\angle AMK = \angle ALK = \angle ALT$. Отсюда $\angle ACT = \angle ALT$, т. е. $ ATLC$ - вписанный. Следовательно, $\angle CTA = \angle CLA$, но по свойству касательной $\angle CLA = \angle LKA$, т. е. $ \angle CTA = \angle TKA$, и значит, $ \angle BTA = \angle BKT$. Тогда треугольники $BTA$ и $BKT$ подобны по двум углам, откуда $BT^2 = BK \cdot BA$. C другой стороны, произведение $BK \cdot BA$ равно квадрату касательной к $\omega$ из точки $B$.
