Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2052
2019-01-23 
Докажите, что найдутся 4 таких целых числа $a, b, с, d$, по модулю больших 1000000, что $ \frac {1}{a}+ \frac {1}{b}+ \frac {1}{c}+ \frac {1}{d}= \frac{1} {abcd}$.
Решение:
Рассмотрим какое-нибудь натуральное число $n > 1000000$. Покажем, что условию будет удовлетворять четверка чисел $-n, n + 1, n(n + 1) + 1, n(n + 1)(n(n + 1) + 1) + 1$. Действительно, применив трижды соотношение $\frac{1}{a} - \frac{1}{a+1} = \frac{1}{a(a+1)}$ получаем
$\frac{1}{-n} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)+1} + \frac{1}{n(n+1)(n(n+1)+1)+1} = - \frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{n(n+1)+1} + \frac{1}{n(n+1)(n(n+1)+1)+1} = \frac{1}{n(n+1)(n(n+1)+1)+1} + \frac{1}{n(n+1)(n(n+1)+1)+1} = \frac{1}{n(n+1)(n(n+1)+1(n(n+1)(n(n+1)+1)+1)}$, что и требовалось.
Докажите, что найдутся 4 таких целых числа $a, b, с, d$, по модулю больших 1000000, что $ \frac {1}{a}+ \frac {1}{b}+ \frac {1}{c}+ \frac {1}{d}= \frac{1} {abcd}$.
Решение:
Рассмотрим какое-нибудь натуральное число $n > 1000000$. Покажем, что условию будет удовлетворять четверка чисел $-n, n + 1, n(n + 1) + 1, n(n + 1)(n(n + 1) + 1) + 1$. Действительно, применив трижды соотношение $\frac{1}{a} - \frac{1}{a+1} = \frac{1}{a(a+1)}$ получаем
$\frac{1}{-n} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)+1} + \frac{1}{n(n+1)(n(n+1)+1)+1} = - \frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{n(n+1)+1} + \frac{1}{n(n+1)(n(n+1)+1)+1} = \frac{1}{n(n+1)(n(n+1)+1)+1} + \frac{1}{n(n+1)(n(n+1)+1)+1} = \frac{1}{n(n+1)(n(n+1)+1(n(n+1)(n(n+1)+1)+1)}$, что и требовалось.
