Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2049
2019-01-23 
Четырехугольник $ABCD$ с попарно непараллельными сторонами описан около окружности с центром $O$. Докажите, что точка $O$ совпадает с точкой пересечения средних линий четырехугольника $ABCD$ тогда и только тогда, когда $OA \cdot OC = OB \cdot OD$.
Решение:
Пусть $X$ и $Y$ - середины $AB$ и $CD$ соответственно, $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$ (пусть для определенности $P$ - точка пересечения лучей $AB$ и $DC$) (см. рис.).
Предположим, что $O$ - точка пересечения средних линий четырехугольника $ABCD$. Тогда $O$ - середина отрезка $XY$, так как середины сторон четырехугольника - вершины параллелограмма. Далее, $PO$ - биссектриса и медиана в треугольнике $XPY$, поэтому он равнобедренный и $\angle BXO = \angle CYO$. Кроме того, $\angle XBO + \angle YCO = \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle BCD) = \frac{1}{2} (180^{\circ} - \angle BPC) = \angle PXY = \angle XBO + \angle XOB$, поэтому $ \angle YCO = \angle XOB$, и треугольники $OXB$ и $CYO$ подобны. Следовательно $\frac{OB}{OC} = \frac{XB}{YO}$. Аналогично, $\frac{OA}{OD} = \frac{XA}{YO} = \frac{XB}{YO}$, откуда следует $OA \cdot ОС = OB \cdot OD$.
Пусть теперь $OA \cdot OC = OB \cdot OD$. Заметим, что $\triangle AOB + \triangle COD = (180^{\circ} - \angle OAB - \angle OBA) + (180^{\circ} - \angle OCD - \angle ODC) = 360^{\circ} - \frac{1}{2} (\angle DAB + \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA) = 180^{\circ}$.
Поэтому, если достроить треугольники $OAB$ и $OCD$ до параллелограммов $OAKB$ и $OCLD$, то эти параллелограммы будут подобны (поскольку = $\frac{OA}{AK} = \frac{OA}{OB} = \frac{DO}{OC})$. Тогда треугольники $OXB$ и $CYO$ также подобны, поскольку они соответствуют друг другу при подобии параллелограммов. Отсюда $\triangle XOB = \triangle OCY = \triangle OCB$ и $\triangle COY = \triangle XBO = \triangle OBC$. Следовательно, $\triangle XOB + \triangle BOC + \triangle COY = \triangle OCB + \triangle BOC + \triangle OBC = 180^{\circ}$, т. е. точка $O$ лежит на прямой $XY$. Аналогично, $O$ лежит на прямой, соединяющей середины двух других сторон четырехугольника, что и требовалось.
Четырехугольник $ABCD$ с попарно непараллельными сторонами описан около окружности с центром $O$. Докажите, что точка $O$ совпадает с точкой пересечения средних линий четырехугольника $ABCD$ тогда и только тогда, когда $OA \cdot OC = OB \cdot OD$.
Решение:
Пусть $X$ и $Y$ - середины $AB$ и $CD$ соответственно, $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$ (пусть для определенности $P$ - точка пересечения лучей $AB$ и $DC$) (см. рис.).
Предположим, что $O$ - точка пересечения средних линий четырехугольника $ABCD$. Тогда $O$ - середина отрезка $XY$, так как середины сторон четырехугольника - вершины параллелограмма. Далее, $PO$ - биссектриса и медиана в треугольнике $XPY$, поэтому он равнобедренный и $\angle BXO = \angle CYO$. Кроме того, $\angle XBO + \angle YCO = \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle BCD) = \frac{1}{2} (180^{\circ} - \angle BPC) = \angle PXY = \angle XBO + \angle XOB$, поэтому $ \angle YCO = \angle XOB$, и треугольники $OXB$ и $CYO$ подобны. Следовательно $\frac{OB}{OC} = \frac{XB}{YO}$. Аналогично, $\frac{OA}{OD} = \frac{XA}{YO} = \frac{XB}{YO}$, откуда следует $OA \cdot ОС = OB \cdot OD$.
Пусть теперь $OA \cdot OC = OB \cdot OD$. Заметим, что $\triangle AOB + \triangle COD = (180^{\circ} - \angle OAB - \angle OBA) + (180^{\circ} - \angle OCD - \angle ODC) = 360^{\circ} - \frac{1}{2} (\angle DAB + \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA) = 180^{\circ}$.
Поэтому, если достроить треугольники $OAB$ и $OCD$ до параллелограммов $OAKB$ и $OCLD$, то эти параллелограммы будут подобны (поскольку = $\frac{OA}{AK} = \frac{OA}{OB} = \frac{DO}{OC})$. Тогда треугольники $OXB$ и $CYO$ также подобны, поскольку они соответствуют друг другу при подобии параллелограммов. Отсюда $\triangle XOB = \triangle OCY = \triangle OCB$ и $\triangle COY = \triangle XBO = \triangle OBC$. Следовательно, $\triangle XOB + \triangle BOC + \triangle COY = \triangle OCB + \triangle BOC + \triangle OBC = 180^{\circ}$, т. е. точка $O$ лежит на прямой $XY$. Аналогично, $O$ лежит на прямой, соединяющей середины двух других сторон четырехугольника, что и требовалось.
