Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2047
2019-01-23 
Существует ли ограниченная функция $f: \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ такая, что $f(1) > 0$ и $f(x)$ удовлетворяет при всех $x,y \in \mathbb {R}$ неравенству $f^2(x + y) > f^2(x) + 2f (xy) + f^2(y)$?
Решение:
Возьмем произвольно $x_1 \neq 0$ и положим $у_1 = \frac{1}{x_1}$. Тогда $f^2(x_1 + y_1) \geq f^2(x_1) + 2f(1) + f^2(y_1) > f_2(x_1) + a$, где $a = 2f(1) > 0$. Будем далее выбирать $x_n = x_{n-1} + у_{n-1}, y_n = \frac{1}{x_n}, n \geq 2$. Тогда $f^2(x_n + y_n) \geq f^2(x_n)+ a = f^2(x_{n-1}+y_{n-1})+a > f^2(x_{n-1})+2a \geq \cdots \geq f^2(x_1) + na$. Ясно, что последовательность $f(x_1), f(x_2), \cdots, f(x_n), \cdots $ неограничена.
Ответ. Не существует.
Существует ли ограниченная функция $f: \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ такая, что $f(1) > 0$ и $f(x)$ удовлетворяет при всех $x,y \in \mathbb {R}$ неравенству $f^2(x + y) > f^2(x) + 2f (xy) + f^2(y)$?
Решение:
Возьмем произвольно $x_1 \neq 0$ и положим $у_1 = \frac{1}{x_1}$. Тогда $f^2(x_1 + y_1) \geq f^2(x_1) + 2f(1) + f^2(y_1) > f_2(x_1) + a$, где $a = 2f(1) > 0$. Будем далее выбирать $x_n = x_{n-1} + у_{n-1}, y_n = \frac{1}{x_n}, n \geq 2$. Тогда $f^2(x_n + y_n) \geq f^2(x_n)+ a = f^2(x_{n-1}+y_{n-1})+a > f^2(x_{n-1})+2a \geq \cdots \geq f^2(x_1) + na$. Ясно, что последовательность $f(x_1), f(x_2), \cdots, f(x_n), \cdots $ неограничена.
Ответ. Не существует.
