Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2045
2019-01-23 
Пусть ${A}^{ \prime} , {B}^{ \prime} $ и ${C}^{ \prime} $ - точки касания вневписанных окружностей с соответствующими сторонами треугольника $ABC$. Описанные окружности треугольников ${A}^{ \prime} {B}^{ \prime} C, A{B}^{ \prime} {C}^{ \prime} $ и ${A}^{ \prime} B{C}^{ \prime} $4 пересекают второй раз описа нную окружность треугольника $ABC$ в точках $C_1, A_1$ и $B_1$ соответственно. Докажите, что треугольник $A_1B_1C_1$ подобен треугольнику, образованному точками касания вписанной окружности треугольника $ABC$ с его сторонами.
Решение:
Через точки касания вневписанных окружностей $A^{\prime}$ и $C^{\prime}$ проведем перпендикуляры к соответствующим сторонам треугольника. Они пройдут через центры вневписанных окружностей ($I_{1}$ и $I_{3}$) и пересекутся в некоторой точке $O$ (см. рис.). Так как 11 и 13 находятся на внешней биссектрисе угла $B$, то $\angle ABI_3 = \angle CBI_1$. Из рассмотрения прямоугольных треугольников $I_1 A^{\prime}B$ и $I_3C^{\prime}B$ следует, что $\angle BI_1 A^{\prime} = \angle BI_3C^{\prime}$, значит, $\triangle OI_1I_3$ - равнобедренный.
Обозначим середину отрезка $I_1I_3$ через $P$. Поскольку $OI_1 = OI_3, OP \pm I_1I_3$. Рассмотрим окружность с диаметром $OB$. На ней лежат точки $A^{\prime}, C$ и $P$, т. е. это окружность, описанная около $ABA^{\prime}C^{\prime}$. Теперь достаточно доказать, что $P$ лежит на описанной окружности $\triangle ABC$. Из этого будет следовать, что $P = B_1$, и $\triangle A_1B_1C_1$ - серединный треугольник для $I_1I_2I_3$, значит, его стороны параллельны внешним биссектрисам $\triangle ABC$. Но внешние биссектрисы параллельны сторонам треугольника, образованного точками касания вписанной окружности со сторонами $\triangle ABC$ (стороны этих треугольников перпендикулярны внутренним биссектрисам).
Проведем из вершин $A$ и $C$ биссектрисы внутренних и внешних углов $\triangle ABC$ (см. рис.). Как известно, две биссектрисы одного угла перпендикулярны. Следовательно, точки $I_1, C, A, I_3$ лежат на окружности с диаметром $I_1I_3$ и с центром в точке $P$. Рассмотрим центральный угол этой окружности - $\angle API_3$. Он опирается на дугу $I_3 A$, не нее же опирается вписанный угол $\angle I_3CA = \frac{1}{2} \angle C$. Значит, $\angle I_3PA = 2 \angle I_3CA = \angle C$. Из этого следует, что $\angle BPA = \angle BCA$, т. е. точки $A, B, P, C$ лежат на одной окружности.
Замечание. Окружность, проходящая через $A, B, C, P$, является окружностью девяти точек для треугольника $I_1I_2I_3$.
Пусть ${A}^{ \prime} , {B}^{ \prime} $ и ${C}^{ \prime} $ - точки касания вневписанных окружностей с соответствующими сторонами треугольника $ABC$. Описанные окружности треугольников ${A}^{ \prime} {B}^{ \prime} C, A{B}^{ \prime} {C}^{ \prime} $ и ${A}^{ \prime} B{C}^{ \prime} $4 пересекают второй раз описа нную окружность треугольника $ABC$ в точках $C_1, A_1$ и $B_1$ соответственно. Докажите, что треугольник $A_1B_1C_1$ подобен треугольнику, образованному точками касания вписанной окружности треугольника $ABC$ с его сторонами.
Решение:
Через точки касания вневписанных окружностей $A^{\prime}$ и $C^{\prime}$ проведем перпендикуляры к соответствующим сторонам треугольника. Они пройдут через центры вневписанных окружностей ($I_{1}$ и $I_{3}$) и пересекутся в некоторой точке $O$ (см. рис.). Так как 11 и 13 находятся на внешней биссектрисе угла $B$, то $\angle ABI_3 = \angle CBI_1$. Из рассмотрения прямоугольных треугольников $I_1 A^{\prime}B$ и $I_3C^{\prime}B$ следует, что $\angle BI_1 A^{\prime} = \angle BI_3C^{\prime}$, значит, $\triangle OI_1I_3$ - равнобедренный.
Обозначим середину отрезка $I_1I_3$ через $P$. Поскольку $OI_1 = OI_3, OP \pm I_1I_3$. Рассмотрим окружность с диаметром $OB$. На ней лежат точки $A^{\prime}, C$ и $P$, т. е. это окружность, описанная около $ABA^{\prime}C^{\prime}$. Теперь достаточно доказать, что $P$ лежит на описанной окружности $\triangle ABC$. Из этого будет следовать, что $P = B_1$, и $\triangle A_1B_1C_1$ - серединный треугольник для $I_1I_2I_3$, значит, его стороны параллельны внешним биссектрисам $\triangle ABC$. Но внешние биссектрисы параллельны сторонам треугольника, образованного точками касания вписанной окружности со сторонами $\triangle ABC$ (стороны этих треугольников перпендикулярны внутренним биссектрисам).
Проведем из вершин $A$ и $C$ биссектрисы внутренних и внешних углов $\triangle ABC$ (см. рис.). Как известно, две биссектрисы одного угла перпендикулярны. Следовательно, точки $I_1, C, A, I_3$ лежат на окружности с диаметром $I_1I_3$ и с центром в точке $P$. Рассмотрим центральный угол этой окружности - $\angle API_3$. Он опирается на дугу $I_3 A$, не нее же опирается вписанный угол $\angle I_3CA = \frac{1}{2} \angle C$. Значит, $\angle I_3PA = 2 \angle I_3CA = \angle C$. Из этого следует, что $\angle BPA = \angle BCA$, т. е. точки $A, B, P, C$ лежат на одной окружности.
Замечание. Окружность, проходящая через $A, B, C, P$, является окружностью девяти точек для треугольника $I_1I_2I_3$.
