Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2042
2019-01-23 
Натуральные числа $x$ и $у$ таковы, что $2x^2 - 1 = y^{15}$. Докажите, что если $x > 1,$ то $x$ делится на 5.
Решение:
Далее в решении латинские буквы обозначают целые числа.
Лемма 1. Если $а = \:НОД(t +1,t^2 - t + 1)$, то $a = 1$ либо $a = 3$.
Доказательство. Поделив с остатком $t^2 - t + 1$ на $t + 1$, получаем $t^2 - t + 1 = (t - 2)(t + 1) + 3$. Из полученного равенства видим, что если $d$ - общий делитель $t^2 - t +1$ и $t + 1$, то $d$ - делитель числа 3.
Аналогично, из равенства $t^4 - t^3 + t^2 - t + 1 = (t^3 - 2t^2 + 3t - 4)(t +1) + 5$ выводится
Лемма 2. Если $b = \:НОД(t + 1, t^4 - t^3 +t^2 - t + 1),$ то $b = 1$ либо $b = 5$.
Имеем $t^3 + 1 = (t + 1)(t^2 - t + 1) = 2x^2,$ где $t = y^5$. Так как число $t^2 - t +1$ всегда нечетно, то из леммы 1 следует, что либо $t + 1 = 2u^2, t^2 - t + 1 = u^2,$ либо $t + 1 = 6u^2, t^2 - t + 1 = 3u^2$. Далее, при $x > 1$ имеем $t > 1$, отсюда $(t - 1)^2 < t^2 - t + 1 < t^2$, и равенство $t^2 - t + 1 = u^2$ выполняться не может. Получаем $t + 1 = y^5 + 1 = 6u^2$. С другой стороны, $(y^5 + 1) - (y^3 + 1) = y^3(y - 1)(y +1)$ делится на произведение $(y - 1)y(y + 1)$, и поэтому делится на 3. Таким образом, $y^3 + 1$ делится на 3, значит $y^3 = 3m - 1$.
Далее, положим $z = y^3 = 3m - 1$, тогда $z^5 + 1 = (z + 1)(z^4 - z^3 + z^2 - z + 1) = 2x^2$. Если $z^4 - z^3 + z^2 - z + 1$ делится на 5, то все доказано. В противном случае из леммы 2 следует, что сомножители в левой части равенства взаимно просты. Поскольку $z^4 - z^3 + z^2 - z + 1$ нечетно, получаем, что $z + 1 = 2u^2, z^4 - z^3 + z^2 - z + 1 = u^2$. Но так как $z = 3m - 1$, то число в левой части последнего равенства при делении на 3 дает остаток 2, а число в правой части - остаток 0 или 1 - противоречие.
Натуральные числа $x$ и $у$ таковы, что $2x^2 - 1 = y^{15}$. Докажите, что если $x > 1,$ то $x$ делится на 5.
Решение:
Далее в решении латинские буквы обозначают целые числа.
Лемма 1. Если $а = \:НОД(t +1,t^2 - t + 1)$, то $a = 1$ либо $a = 3$.
Доказательство. Поделив с остатком $t^2 - t + 1$ на $t + 1$, получаем $t^2 - t + 1 = (t - 2)(t + 1) + 3$. Из полученного равенства видим, что если $d$ - общий делитель $t^2 - t +1$ и $t + 1$, то $d$ - делитель числа 3.
Аналогично, из равенства $t^4 - t^3 + t^2 - t + 1 = (t^3 - 2t^2 + 3t - 4)(t +1) + 5$ выводится
Лемма 2. Если $b = \:НОД(t + 1, t^4 - t^3 +t^2 - t + 1),$ то $b = 1$ либо $b = 5$.
Имеем $t^3 + 1 = (t + 1)(t^2 - t + 1) = 2x^2,$ где $t = y^5$. Так как число $t^2 - t +1$ всегда нечетно, то из леммы 1 следует, что либо $t + 1 = 2u^2, t^2 - t + 1 = u^2,$ либо $t + 1 = 6u^2, t^2 - t + 1 = 3u^2$. Далее, при $x > 1$ имеем $t > 1$, отсюда $(t - 1)^2 < t^2 - t + 1 < t^2$, и равенство $t^2 - t + 1 = u^2$ выполняться не может. Получаем $t + 1 = y^5 + 1 = 6u^2$. С другой стороны, $(y^5 + 1) - (y^3 + 1) = y^3(y - 1)(y +1)$ делится на произведение $(y - 1)y(y + 1)$, и поэтому делится на 3. Таким образом, $y^3 + 1$ делится на 3, значит $y^3 = 3m - 1$.
Далее, положим $z = y^3 = 3m - 1$, тогда $z^5 + 1 = (z + 1)(z^4 - z^3 + z^2 - z + 1) = 2x^2$. Если $z^4 - z^3 + z^2 - z + 1$ делится на 5, то все доказано. В противном случае из леммы 2 следует, что сомножители в левой части равенства взаимно просты. Поскольку $z^4 - z^3 + z^2 - z + 1$ нечетно, получаем, что $z + 1 = 2u^2, z^4 - z^3 + z^2 - z + 1 = u^2$. Но так как $z = 3m - 1$, то число в левой части последнего равенства при делении на 3 дает остаток 2, а число в правой части - остаток 0 или 1 - противоречие.
