Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 204
2014-06-07 
Шесть кругов на плоскости расположены так, что центр каждого из них лежит вне остальных кругов. Доказать, что все шесть кругов не имеют общей точки.
Решение:
Пусть, вопреки утверждению задачи, существует точка О, принадлежащая всем шести кругам. Обозначим через $O_{1},O_{2},O_{3},O_{4},O_{5},O_{6}$ центры этих кругов в порядке обхода вокруг точки О по часовой стрелке (см. рис. Задача по математике 203; согласно условию точка О не может быть центром ни одного из кругов). Так как сумма углов $\angle O_{1}OO_{2}, \angle O_{2}OO_{3}, \cdots, \angle O_{6}OO_{1}$ равна $360^{\circ}$, то хотя бы один из них не превосходит $60^{\circ}$. Пусть, например, $\angle O_{1}OO_{2} \leq 60^{\circ}$, а угол $OO_{1}O_{2}$ - больший из двух оставшихся углов треугольника $OO_{1}O_{2}$ (если $\angle O_{1}OO_{2} = 0$, то сразу $O_{2}O \geq O_{2}O_{1}$). Тогда $\angle OO_{1}O_{2} \geq 60^{\circ} \geq \angle O_{1}OO_{2}$, откуда $O_{2}O \geq O_{2}O_{1}$. Поэтому круг с центром $O_{2}$, содержащий точку О, содержит и центр $O_{1}$ другого круга, что противоречит условию задачи.
Шесть кругов на плоскости расположены так, что центр каждого из них лежит вне остальных кругов. Доказать, что все шесть кругов не имеют общей точки.
Решение:
Пусть, вопреки утверждению задачи, существует точка О, принадлежащая всем шести кругам. Обозначим через $O_{1},O_{2},O_{3},O_{4},O_{5},O_{6}$ центры этих кругов в порядке обхода вокруг точки О по часовой стрелке (см. рис. Задача по математике 203; согласно условию точка О не может быть центром ни одного из кругов). Так как сумма углов $\angle O_{1}OO_{2}, \angle O_{2}OO_{3}, \cdots, \angle O_{6}OO_{1}$ равна $360^{\circ}$, то хотя бы один из них не превосходит $60^{\circ}$. Пусть, например, $\angle O_{1}OO_{2} \leq 60^{\circ}$, а угол $OO_{1}O_{2}$ - больший из двух оставшихся углов треугольника $OO_{1}O_{2}$ (если $\angle O_{1}OO_{2} = 0$, то сразу $O_{2}O \geq O_{2}O_{1}$). Тогда $\angle OO_{1}O_{2} \geq 60^{\circ} \geq \angle O_{1}OO_{2}$, откуда $O_{2}O \geq O_{2}O_{1}$. Поэтому круг с центром $O_{2}$, содержащий точку О, содержит и центр $O_{1}$ другого круга, что противоречит условию задачи.
