Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2034
2019-01-23 
Сколькими способами числа $2^0, 2^1, 2^2,\cdots, 2^{2005}$ можно разбить на два непустых множества $A$ и $B$ так, чтобы уравнение $x^2 - S(A)x + S(B) = 0$, где $S(M)$ - сумма чисел множества $M$, имело целый корень?
Решение:
Если $x_1 \leq x_2$ - корни уравнения, то $x_1, x_2 \in \mathbb{N}$ и $x_1 + x_2 = S(A), x_1x_2 = S(B),$ поэтому $(x_1 + 1)(x_2 + 1) = S(B) + S(A) + 1 = 1 + 2 + 4+ \cdots + 2^{2005} + 1 = 2^{2006}$. Значит, $x_1 + 1 = 2^k, x_2 + 1 = 2^{2006-k},$ где $k$ может принимать значения $1, 2, \cdots, 1003$.
Наоборот, пусть $x_1, x_2$ - числа такого вида, тогда они являются корнями уравнения $x_2 - px + q = 0,$ где $p = 2^k + 2^{2006-k} - 2, q = 2^{2006} - 1 - p$. Но число $p$ имеет единственное разложение в сумму различных степеней двойки (двоичное разложение), и в этом разложении степени двойки не превосходят $2^{2005}$, а двоичное разложение $q$ содержит $1$ на тех местах, где у числа $p$ - нули, так как $p + q = 2^{2005} - 1$. Итак, для каждого $k$ такого, что $1 \leq k \leq 1003$, существует единственное разбиение $(A, B)$, дающее указанные корни $x_1$ и $x_2$.
Ответ. 1003.
Сколькими способами числа $2^0, 2^1, 2^2,\cdots, 2^{2005}$ можно разбить на два непустых множества $A$ и $B$ так, чтобы уравнение $x^2 - S(A)x + S(B) = 0$, где $S(M)$ - сумма чисел множества $M$, имело целый корень?
Решение:
Если $x_1 \leq x_2$ - корни уравнения, то $x_1, x_2 \in \mathbb{N}$ и $x_1 + x_2 = S(A), x_1x_2 = S(B),$ поэтому $(x_1 + 1)(x_2 + 1) = S(B) + S(A) + 1 = 1 + 2 + 4+ \cdots + 2^{2005} + 1 = 2^{2006}$. Значит, $x_1 + 1 = 2^k, x_2 + 1 = 2^{2006-k},$ где $k$ может принимать значения $1, 2, \cdots, 1003$.
Наоборот, пусть $x_1, x_2$ - числа такого вида, тогда они являются корнями уравнения $x_2 - px + q = 0,$ где $p = 2^k + 2^{2006-k} - 2, q = 2^{2006} - 1 - p$. Но число $p$ имеет единственное разложение в сумму различных степеней двойки (двоичное разложение), и в этом разложении степени двойки не превосходят $2^{2005}$, а двоичное разложение $q$ содержит $1$ на тех местах, где у числа $p$ - нули, так как $p + q = 2^{2005} - 1$. Итак, для каждого $k$ такого, что $1 \leq k \leq 1003$, существует единственное разбиение $(A, B)$, дающее указанные корни $x_1$ и $x_2$.
Ответ. 1003.
