Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2031
2019-01-23 
Сумма чисел $a_1, a_2, a_3$, каждое из которых больше единицы, равна $S$, причем $ \frac {a_{1}^{2}}{a_1-1}> S$ для любого $i = 1, 2, 3$. Докажите, что $ \frac {1}{a_1+a_2}+ \frac {1}{a_2+a_3}+ \frac {1}{a_4 + a_1}> 1$.
Решение:
Преобразуем условие:
$\frac{a_1^2}{a_1 - 1} > S \Leftrightarrow a_1^2 > (a_1 + a_2 + a_3)(a_1 - 1) \Leftrightarrow a_1 + a_2 + a_3 > a_1(a_2 + a_3) \Leftrightarrow \frac{1}{a_2 + a_3} > \frac{a_1}{a_1 + a_2 + a_3}$.
Сложив это неравенство с двумя аналогичными, получаем
$\frac{1}{a_1 + a_2} + \frac{1}{a_2 + a_3} + \frac{1}{a_3 + a_1} > \frac{a_1 + a_2 + a_3}{a_1 + a_2 + a_3} = 1$,
что и требовалось.
Сумма чисел $a_1, a_2, a_3$, каждое из которых больше единицы, равна $S$, причем $ \frac {a_{1}^{2}}{a_1-1}> S$ для любого $i = 1, 2, 3$. Докажите, что $ \frac {1}{a_1+a_2}+ \frac {1}{a_2+a_3}+ \frac {1}{a_4 + a_1}> 1$.
Решение:
Преобразуем условие:
$\frac{a_1^2}{a_1 - 1} > S \Leftrightarrow a_1^2 > (a_1 + a_2 + a_3)(a_1 - 1) \Leftrightarrow a_1 + a_2 + a_3 > a_1(a_2 + a_3) \Leftrightarrow \frac{1}{a_2 + a_3} > \frac{a_1}{a_1 + a_2 + a_3}$.
Сложив это неравенство с двумя аналогичными, получаем
$\frac{1}{a_1 + a_2} + \frac{1}{a_2 + a_3} + \frac{1}{a_3 + a_1} > \frac{a_1 + a_2 + a_3}{a_1 + a_2 + a_3} = 1$,
что и требовалось.
