Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2030
2019-01-23 
Леша поставил в клетки таблицы $22 \times 22$ натуральные числа от 1 до 222. Верно ли, что Олег может выбрать такие две клетки, соседние по стороне или вершине, что сумма чисел, стоящих в этих клетках, делится на 4?
Решение:
Предположим, что Олег не сможет выбрать две требуемые клетки. Заменим все числа на их остатки при делении на 4. Тогда в таблице стоит по 121 чисел 0, 1, 2 и 3. Разобьем таблицу на 121 табличку $2 \times 2$. В каждой такой табличке может стоять не более одного нуля и не более одной двойки. Но так как количество табличек равно количеству нулей и количеству двоек, то в каждой табличке стоит ровно один ноль и ровно одна двойка. Заметим, что в каждой табличке два оставшихся числа оба должны быть либо единицами, либо тройками. Но тогда количество единиц четно, однако их 121 - противоречие.
Ответ. Верно.
Леша поставил в клетки таблицы $22 \times 22$ натуральные числа от 1 до 222. Верно ли, что Олег может выбрать такие две клетки, соседние по стороне или вершине, что сумма чисел, стоящих в этих клетках, делится на 4?
Решение:
Предположим, что Олег не сможет выбрать две требуемые клетки. Заменим все числа на их остатки при делении на 4. Тогда в таблице стоит по 121 чисел 0, 1, 2 и 3. Разобьем таблицу на 121 табличку $2 \times 2$. В каждой такой табличке может стоять не более одного нуля и не более одной двойки. Но так как количество табличек равно количеству нулей и количеству двоек, то в каждой табличке стоит ровно один ноль и ровно одна двойка. Заметим, что в каждой табличке два оставшихся числа оба должны быть либо единицами, либо тройками. Но тогда количество единиц четно, однако их 121 - противоречие.
Ответ. Верно.
