Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 203
2014-06-07 
Семь точек в круге единичного радиуса расположены так, что расстояние между любыми двумя из них не меньше 1. Доказать, что одна из точек совпадает с центром круга.
Решение:
Пусть, вопреки утверждению задачи, ни одна из точек $O_{1}, \cdots , O_{7}$, расположенных в порядке обхода вокруг центра О данного круга по часовой стрелке (рис.), не совпадает с точкой О. Так как сумма углов $\angle O_{1}OO_{2}, \angle O_{2}OO_{3}, \cdots , \angle O_{7}OO_{1}$ равна $360^{\circ}$, то хотя бы одни из них меньше $60^{\circ}$. Пусть, например, $\angle O_{1}OO_{2} < 60^{\circ}$, а угол $OO_{1}O_{2}$ - больший из двух оставшихся углов треугольника $OO_{1}O_{2}$ (если $\angle O_{1}OO_{2} = 0$, то сразу $O_{1}O_{2} < 1$). Тогда $\angle OO_{1}O_{2} > 60^{\circ} > \angle O_{1}OO_{2}$, откуда $O_{1}O_{2} < O_{2}O \leq 1$, что противоречит условию задачи.
Семь точек в круге единичного радиуса расположены так, что расстояние между любыми двумя из них не меньше 1. Доказать, что одна из точек совпадает с центром круга.
Решение:
Пусть, вопреки утверждению задачи, ни одна из точек $O_{1}, \cdots , O_{7}$, расположенных в порядке обхода вокруг центра О данного круга по часовой стрелке (рис.), не совпадает с точкой О. Так как сумма углов $\angle O_{1}OO_{2}, \angle O_{2}OO_{3}, \cdots , \angle O_{7}OO_{1}$ равна $360^{\circ}$, то хотя бы одни из них меньше $60^{\circ}$. Пусть, например, $\angle O_{1}OO_{2} < 60^{\circ}$, а угол $OO_{1}O_{2}$ - больший из двух оставшихся углов треугольника $OO_{1}O_{2}$ (если $\angle O_{1}OO_{2} = 0$, то сразу $O_{1}O_{2} < 1$). Тогда $\angle OO_{1}O_{2} > 60^{\circ} > \angle O_{1}OO_{2}$, откуда $O_{1}O_{2} < O_{2}O \leq 1$, что противоречит условию задачи.
