Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2029
2019-01-23 
Дан параллелограмм $ABCD (AB < BC)$. Докажите, что окружности, описанные около треугольников $APQ$, для всевозможных точек $P$ и $Q$, выбранных на сторонах $BC$ и $CD$ соответственно так, что $CP = CQ$, имеют общую точку, отличную от $A$.
Решение:
Построим биссектрису угла $C$ и рассмотрим точку $A$, симметричную $A$ относительно этой биссектрисы. Так как $CP = CQ$, то построенная биссектриса является серединным перпендикуляром к отрезку $PQ$. Значит, четырехугольник $PQA^{ \prime} A$ - равнобокая трапеция или прямоугольник, следовательно, A лежит на описанной окружности $\Delta APQ$ при любом положении точек $P$ и $Q$, удовлетворяющем условию.
Дан параллелограмм $ABCD (AB < BC)$. Докажите, что окружности, описанные около треугольников $APQ$, для всевозможных точек $P$ и $Q$, выбранных на сторонах $BC$ и $CD$ соответственно так, что $CP = CQ$, имеют общую точку, отличную от $A$.
Решение:
Построим биссектрису угла $C$ и рассмотрим точку $A$, симметричную $A$ относительно этой биссектрисы. Так как $CP = CQ$, то построенная биссектриса является серединным перпендикуляром к отрезку $PQ$. Значит, четырехугольник $PQA^{ \prime} A$ - равнобокая трапеция или прямоугольник, следовательно, A лежит на описанной окружности $\Delta APQ$ при любом положении точек $P$ и $Q$, удовлетворяющем условию.
