Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2026
2019-01-23 
Докажите, что не существует конечного множества, содержащего более $2N (N > 3)$ попарно неколлинеарных векторов на плоскости, обладающего следующими двумя свойствами: 1) для любых $N$ векторов этого множества найдется еще такой $N - 1$ вектор из этого множества, что сумма всех $2N - 1$ векторов равна нулю; 2) для любых $N$ векторов этого множества найдутся еще такие $N$ векторов из этого множества, что сумма всех $2N$ векторов равна нулю.
Решение:
Предположим противное. Выберем прямую, не ортогональную ни одному из векторов нашего множества. Тогда проекции хотя бы $N$ векторов на нее направлены в одну сторону; обозначим их $\vec{e_1}, \cdots, \vec{e_N}$. Введем на этой прямой направление так, что эти векторы направлены в отрицательную сторону, и выберем $N$ векторов $\vec{f_1}, \cdots, \vec{f_N}$ так, что алгебраическая проекция s их суммы максимальна (ясно, что из условия 2) $s > 0$). При этом, если некоторые из этих векторов совпали с векторами $\vec{e_i}$, то проекции всех векторов, кроме $\vec{f_1} \cdots, \vec{f_N}$, направлены в отрицательную сторону; тогда мы обозначим через $\vec{e_i}$ какие-то $N$ векторов, отличных от $\vec{f_i}, i = 1, \cdots, N$.
Для $N$ векторов $\vec{f_i}$ найдутся векторы $\vec{a_1}, \cdots, \vec{a_{N-1}}$ такие, что $\vec{f_1} +\cdots + \vec{f_N} = - (\vec{a_1} + \cdots + \vec{a_{N-1}})$. Хотя бы один из векторов $\vec{e_i}$ не совпадает ни с одним из $\vec{a_j}$ (пусть это $\vec{e_i}$), при этом алгебраическая проекция суммы $\vec{a_1} + \cdots + \vec{a_{N-1}} + \vec{e_1}$ отрицательна и больше $s$ по модулю. Тогда для векторов $\vec{a_1}, \cdots, \vec{a_{N-1}}, \vec{e_1}$ существуют $N$ векторов, сумма которых равна $- (\vec{a_1} + \cdots + \vec{a_{N-1}} + \vec{e_1})$, т. е. алгебраическая проекция суммы которых больше $s$. Противоречие с выбором векторов $\vec{f_i}$.
Докажите, что не существует конечного множества, содержащего более $2N (N > 3)$ попарно неколлинеарных векторов на плоскости, обладающего следующими двумя свойствами: 1) для любых $N$ векторов этого множества найдется еще такой $N - 1$ вектор из этого множества, что сумма всех $2N - 1$ векторов равна нулю; 2) для любых $N$ векторов этого множества найдутся еще такие $N$ векторов из этого множества, что сумма всех $2N$ векторов равна нулю.
Решение:
Предположим противное. Выберем прямую, не ортогональную ни одному из векторов нашего множества. Тогда проекции хотя бы $N$ векторов на нее направлены в одну сторону; обозначим их $\vec{e_1}, \cdots, \vec{e_N}$. Введем на этой прямой направление так, что эти векторы направлены в отрицательную сторону, и выберем $N$ векторов $\vec{f_1}, \cdots, \vec{f_N}$ так, что алгебраическая проекция s их суммы максимальна (ясно, что из условия 2) $s > 0$). При этом, если некоторые из этих векторов совпали с векторами $\vec{e_i}$, то проекции всех векторов, кроме $\vec{f_1} \cdots, \vec{f_N}$, направлены в отрицательную сторону; тогда мы обозначим через $\vec{e_i}$ какие-то $N$ векторов, отличных от $\vec{f_i}, i = 1, \cdots, N$.
Для $N$ векторов $\vec{f_i}$ найдутся векторы $\vec{a_1}, \cdots, \vec{a_{N-1}}$ такие, что $\vec{f_1} +\cdots + \vec{f_N} = - (\vec{a_1} + \cdots + \vec{a_{N-1}})$. Хотя бы один из векторов $\vec{e_i}$ не совпадает ни с одним из $\vec{a_j}$ (пусть это $\vec{e_i}$), при этом алгебраическая проекция суммы $\vec{a_1} + \cdots + \vec{a_{N-1}} + \vec{e_1}$ отрицательна и больше $s$ по модулю. Тогда для векторов $\vec{a_1}, \cdots, \vec{a_{N-1}}, \vec{e_1}$ существуют $N$ векторов, сумма которых равна $- (\vec{a_1} + \cdots + \vec{a_{N-1}} + \vec{e_1})$, т. е. алгебраическая проекция суммы которых больше $s$. Противоречие с выбором векторов $\vec{f_i}$.
