Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2025
2019-01-23 
Пусть $M = \{x_1,\cdots, x_{30} \}$ - множество, состоящее из 30 различных положительных чисел; $A_n (1 \leq n \leq 30)$ - сумма всевозможных произведений различных $n$ элементов множества $M$. Докажите, что если $A_{15} > A_{10},$ то $A_1 > 1$.
Решение:
Пусть $A_1 \leq 1$. Достаточно доказать, что $A_{n + 1} < A_n$ при любом $1 \leq n \leq 29$.
Имеем $A_n \geq A_1A_n$. Перемножая $A_1$ и $A_n$ и раскрывая скобки, видим, что $A_1A_n = A_{n+1} + S_n,$ где $S_n$ - сумма всех слагаемых полученной суммы, в которых встречается квадрат одного из $x_i$. Тогда $S_n > 0$, откуда следует требуемое.
Пусть $M = \{x_1,\cdots, x_{30} \}$ - множество, состоящее из 30 различных положительных чисел; $A_n (1 \leq n \leq 30)$ - сумма всевозможных произведений различных $n$ элементов множества $M$. Докажите, что если $A_{15} > A_{10},$ то $A_1 > 1$.
Решение:
Пусть $A_1 \leq 1$. Достаточно доказать, что $A_{n + 1} < A_n$ при любом $1 \leq n \leq 29$.
Имеем $A_n \geq A_1A_n$. Перемножая $A_1$ и $A_n$ и раскрывая скобки, видим, что $A_1A_n = A_{n+1} + S_n,$ где $S_n$ - сумма всех слагаемых полученной суммы, в которых встречается квадрат одного из $x_i$. Тогда $S_n > 0$, откуда следует требуемое.
