Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2022
2019-01-23 
Пусть $I_A$ и $I_B$ - центры вневписанных окружностей, касающихся сторон $BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ соответственно, а $P$ - точка на окружности $ \Omega $, описанной около этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников $I_ACP и I_BCP$, совпадает с центром окружности $ \Omega $.
Решение:
Пусть $M$ - середина отрезка $I_AI_B$ . Поскольку биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны, $AI_A \perp L_AI_B$. В прямоугольном треугольнике $AI_AI_B$ середина $M$ гипотенузы $I_AI_B$ равноудалена от вершин, поэтому $MA = I_A I_B/2$. Аналогично, $MB = I_AI_B/2$. Тогда $M$ - центр окружности, описанной около $AI_BI_AB$, поэтому $\angle AI_AB = \angle AMB/2$. Заметим, что $\angle AI_AB = (180^{\circ} - \angle ABC)/2 - \angle BAC/2 = \angle ACB/2$, поэтому $\angle AMB = \angle ACB$, и точки $A, B, C$ и $M$ лежат на одной окружности $\Omega$. Поскольку $AM = BM$, точка $M$ является серединой дуги $ACB$ этой окружности.
Пусть $I_A, I_B, M^{\prime}$ - середины отрезков $CI_A, CI_B, CM$ соответственно (см. рис.). Точки $I_А^{\prime}, I_B^{\prime}, M^{\prime}$ являются проекциями соответственно точек $O_A, О_B, O$ на прямую $I_AI_B$ (здесь $O_A , O_B, O$ - центры описанных окружностей треугольников $I_ACP, I_BCP, ABC$). Точки $O_A, O_B, O$ лежат на серединном перпендикуляре $l$ к отрезку $CP$. Поэтому для решения задачи достаточно доказать, что $M^{\prime}$ является серединой отрезка $I_A^{\prime}I_B^{\prime}$. Но это верно, поскольку $M$ - середина $I_A^{\prime}I_B^{\prime}$, а тройка точек $I_A^{\prime}I_B^{\prime} M^{\prime}$, получается из тройки $I_A^{\prime}I_B^{\prime} M^{\prime}$ путем гомотетии с центром $C$ и коэффициентом 1/2.
Пусть $I_A$ и $I_B$ - центры вневписанных окружностей, касающихся сторон $BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ соответственно, а $P$ - точка на окружности $ \Omega $, описанной около этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников $I_ACP и I_BCP$, совпадает с центром окружности $ \Omega $.
Решение:
Пусть $M$ - середина отрезка $I_AI_B$ . Поскольку биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны, $AI_A \perp L_AI_B$. В прямоугольном треугольнике $AI_AI_B$ середина $M$ гипотенузы $I_AI_B$ равноудалена от вершин, поэтому $MA = I_A I_B/2$. Аналогично, $MB = I_AI_B/2$. Тогда $M$ - центр окружности, описанной около $AI_BI_AB$, поэтому $\angle AI_AB = \angle AMB/2$. Заметим, что $\angle AI_AB = (180^{\circ} - \angle ABC)/2 - \angle BAC/2 = \angle ACB/2$, поэтому $\angle AMB = \angle ACB$, и точки $A, B, C$ и $M$ лежат на одной окружности $\Omega$. Поскольку $AM = BM$, точка $M$ является серединой дуги $ACB$ этой окружности.
Пусть $I_A, I_B, M^{\prime}$ - середины отрезков $CI_A, CI_B, CM$ соответственно (см. рис.). Точки $I_А^{\prime}, I_B^{\prime}, M^{\prime}$ являются проекциями соответственно точек $O_A, О_B, O$ на прямую $I_AI_B$ (здесь $O_A , O_B, O$ - центры описанных окружностей треугольников $I_ACP, I_BCP, ABC$). Точки $O_A, O_B, O$ лежат на серединном перпендикуляре $l$ к отрезку $CP$. Поэтому для решения задачи достаточно доказать, что $M^{\prime}$ является серединой отрезка $I_A^{\prime}I_B^{\prime}$. Но это верно, поскольку $M$ - середина $I_A^{\prime}I_B^{\prime}$, а тройка точек $I_A^{\prime}I_B^{\prime} M^{\prime}$, получается из тройки $I_A^{\prime}I_B^{\prime} M^{\prime}$ путем гомотетии с центром $C$ и коэффициентом 1/2.
