Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2021
2019-01-23 
Существует ли такое натуральное число $n > 10^{1000}$, не делящееся на 10, что в его десятичной записи можно переставить две различные ненулевые цифры так, чтобы множество его простых делителей не изменилось?
Решение:
Приведем пример такого числа. Пусть $n = 13 \cdot 11 . ..1 = 144 .. .43$, количество единиц мы подберем позже. Если переставить единицу и тройку, то получится число $344 \cdots 41 = 31 \cdot 11 \cdots 1$. При этом, если наше число из одних единиц делится на $13 \cdot 31 = 403$, то простыми делителями обоих чисел будут в точности его простые делители. Осталось показать, что существует такое число из хотя бы 1000 единиц.
Рассмотрим числа $1, 10^{1000}, 10^{2000}, \cdots, 10^{403 \cdots 1000}$. Два из них (скажем, $10^{1000m}$ и $10^{1000n}$, где $m < n$) имеют одинаковые остатки от деления на 403. Тогда $10^{1000n} - 10^{1000m} = 10^{1000m}(10^{1000(n-m)} - 1)$ делится на 403, а поскольку 403 и 90 взаимно просты, то на 403 делится и $\frac{10^{1000(n-m)} - 1}{9} = \underset{1000(n-m)}{\underbrace{11 \cdots 1}}$, что и требовалось.
Ответ. Существует.
Существует ли такое натуральное число $n > 10^{1000}$, не делящееся на 10, что в его десятичной записи можно переставить две различные ненулевые цифры так, чтобы множество его простых делителей не изменилось?
Решение:
Приведем пример такого числа. Пусть $n = 13 \cdot 11 . ..1 = 144 .. .43$, количество единиц мы подберем позже. Если переставить единицу и тройку, то получится число $344 \cdots 41 = 31 \cdot 11 \cdots 1$. При этом, если наше число из одних единиц делится на $13 \cdot 31 = 403$, то простыми делителями обоих чисел будут в точности его простые делители. Осталось показать, что существует такое число из хотя бы 1000 единиц.
Рассмотрим числа $1, 10^{1000}, 10^{2000}, \cdots, 10^{403 \cdots 1000}$. Два из них (скажем, $10^{1000m}$ и $10^{1000n}$, где $m < n$) имеют одинаковые остатки от деления на 403. Тогда $10^{1000n} - 10^{1000m} = 10^{1000m}(10^{1000(n-m)} - 1)$ делится на 403, а поскольку 403 и 90 взаимно просты, то на 403 делится и $\frac{10^{1000(n-m)} - 1}{9} = \underset{1000(n-m)}{\underbrace{11 \cdots 1}}$, что и требовалось.
Ответ. Существует.
